Summen und Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 21.06.2004 | | Autor: | eleftro |
Hallo!
Habe folgende Aufgabenstellung:
Seien V,W K-Vektorräume.
Zeige V [mm] \times [/mm] W = (V [mm] \times [/mm] {0}) [mm] \oplus [/mm] ({0} [mm] \times [/mm] W)
wobei mit komponentenweiser Addition
und Skalarmultiplikation versehen ist.
Habe schon einiges ausprobiert und mir überlegt, dass (v,w) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W, so gilt (v,w)=(v,o)+(o,w). Weiß nicht genau, wie ich weiter machen soll. Aber irgendwie muss ich zeigen, dass (v,w) [mm] \in [/mm] (V [mm] \times [/mm] {0}) [mm] \oplus [/mm] ({0} [mm] \times [/mm] W) ist! Hab aber keine Ahnung, wie ich weiter vorgehen kann.
Kann mir da einer weiterhelfen? Wäre echt super! Im voraus danke!
Gruss eleftro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eleftro!
> Habe folgende Aufgabenstellung:
> Seien V,W K-Vektorräume.
> Zeige V [mm]\times[/mm] W = (V [mm]\times[/mm] {0}) [mm]\oplus[/mm] ({0} [mm]\times[/mm] W)
> wobei mit komponentenweiser Addition
> und Skalarmultiplikation versehen ist.
>
> Habe schon einiges ausprobiert und mir überlegt, dass (v,w)
> [mm]\in[/mm] V [mm]\times[/mm] W, so gilt (v,w)=(v,o)+(o,w). Weiß nicht
> genau, wie ich weiter machen soll. Aber irgendwie muss ich
> zeigen, dass (v,w) [mm]\in[/mm] (V [mm]\times[/mm] {0}) [mm]\oplus[/mm] ({0} [mm]\times[/mm] W)
> ist! Hab aber keine Ahnung, wie ich weiter vorgehen kann.
Das obige Gleichheitszeichen, also $V [mm] \times [/mm] W = (V [mm] \times \{0\})\oplus (\{0\}\times [/mm] W)$ ist nicht ganz so wörtlich zu verstehen (die Mengen sind ja vom Aufbau her verschieden), sondern als $V [mm] \times [/mm] W [mm] \cong [/mm] (V [mm] \times \{0\})\oplus (\{0\}\times [/mm] W)$.
In Worten: Zwischen dem Vektorraum [mm] $V\times [/mm] W$ und dem Vektorraum $(V [mm] \times \{0\})\oplus (\{0\}\times [/mm] W)$ gibt es einen Isomorphismus [mm] $\phi$, [/mm] die Vektorräume sind also isomorph.
Zur Erinnerung: Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, du mußt also zeigen: [mm] $\phi$ [/mm] ist bijektiv und erhält die Vektorraumstruktur.
Und ich würde auch noch zeigen (am besten vorher), dass auf der rechten Seite das Zeichen [mm] "$\oplus$" [/mm] gerechtfertigt ist, dass also $(V [mm] \times \{0\})\cap (\{0\}\times [/mm] W)=0$ (bzw. formal präziser: $(V [mm] \times \{0\})\cap (\{0\}\times W)=0\times [/mm] 0$).
Viele Grüße,
Marc
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