Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie , dass keine stetige Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x)=sin(1/x) für alle x>0 existiert. |
Hallo,
ich weiß nicht genau wie ich an die obige Aufgabe herangehen soll, da die Funktion für x>0 doch eigentlich stetig ist und die Unstetigkeit ja eigentlich für x=0 existiert, oder täusche ich mich da?
lg Lukas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zeigen Sie , dass keine stetige Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
> f(x)=sin(1/x) für alle x>0 existiert.
> Hallo,
> ich weiß nicht genau wie ich an die obige Aufgabe
> herangehen soll, da die Funktion für x>0 doch eigentlich
> stetig ist und die Unstetigkeit ja eigentlich für x=0
> existiert, oder täusche ich mich da?
Du hast schon recht, aber $f$ ist ja nur für $x > 0$ definiert, und daher kann man nicht sagen, $f$ sei bei $0$ unstetig. Vielmehr mußt Du zeigen: $f(0)$ kann man gar nicht so definieren, daß $f$ in $0$ stetig ist.
Oder anders ausgedrückt: Jede Funktion [mm] $f\colon \IR\to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] für $0<x$ ist in $0$ unstetig.
Und dies folgt daraus, daß [mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] f(x)$ nicht existiert.
Und dies folgt daraus, daß [mm] $\lim_{x\to 0^+} [/mm] f(x)$ nicht existiert.
Und dies überlasse ich Dir.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Alles klar !
Ich zeige also jetzt: f(0) kann nicht so definiert werden, sodass f in 0 stetig ist.
Sei [mm] x_k [/mm] := 1/k eine Nullfolge .
Zu Zeigen: sin(1/x) ist divergent für x [mm] \to [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] sin(1/1/k) für k [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] sin(k) für k [mm] \to \infty
[/mm]
Man sieht , dass sin(k) für k [mm] \to \infty [/mm] keinen Grenzwert besitzt ( Sollte man das beweisen ?) und damit kann man sin(1/x) in x=0 nicht stetig definieren.
Stimmt das so?
lg Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst wenigstens 2 Folgen [mm] x_n [/mm] gegen 0 angeben, so dass [mm] sin/(x_n) [/mm] gegen versc heidene werte konvergiert. zb so dass für alle Folgenglieder sin =0 und eine andere mit sin=1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Hallo!
Ich habe jetzt versucht zwei Nullfolgen zu finden, sodass sin(1/x) jeweils gegen 1 und 0 konvergiert , also nicht eindeutig bestimmt ist.
Zu sin(1/x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1/x = [mm] \pi
[/mm]
Die dazugehörige Nullfolge wäre hier also : [mm] x_n [/mm] = [mm] 1/(n*\pi)
[/mm]
Die zu 1 gehörende Nullfolge entsprechend [mm] 1/((2*\pi*n)+0.5*\pi)
[/mm]
Ich glaube da müsste jetzt passen oder?
lg Lukas
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Hallo,
> Hallo!
> Ich habe jetzt versucht zwei Nullfolgen zu finden, sodass
> sin(1/x) jeweils gegen 1 und 0 konvergiert , also nicht
> eindeutig bestimmt ist.
> Zu sin(1/x) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1/x = [mm]\pi[/mm]
> Die dazugehörige Nullfolge wäre hier also : [mm]x_n[/mm] =
> [mm]1/(n*\pi)[/mm]
> Die zu 1 gehörende Nullfolge entsprechend
> [mm]1/((2*\pi*n)+0.5*\pi)[/mm]
> Ich glaube da müsste jetzt passen oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mit diesen beiden Folgen kannst du zeigen, dass [mm] $\lim_{x\to 0+}f(x)$ [/mm] nicht existiert.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Di 26.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Vielen Dank an alle für die Hilfe !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lukas,
nur mal eine alternative Begründung:
Wenn Du etwa [mm] $x_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*\pi} [/mm] > 0$ (für jedes $n [mm] \in \IN$) [/mm] setzt, so ist [mm] $f(x_n)=\sin(1/x_n)=\sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*\pi}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+n*\pi\right)=(-1)^n\,.$
[/mm]
Angenommen, man könnte [mm] $f(0)\,$ [/mm] so definieren, dass [mm] $f_{|(0,\infty)}(x)=\sin(1/x)$ [/mm] für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] und so, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere rechtsseitig stetig in [mm] $0\,.$ [/mm] Daher gilt für JEDE Nullfolge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] mit $0 < [mm] r_n \to [/mm] 0$, dass [mm] $f(r_n) \to f(0)\,.$ [/mm] Aus obiger Überlegung würde dann aber folgen, dass die Folge [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] erfüllt: [mm] $(-1)^n \to f(0)\,.$ [/mm] Kann denn [mm] $((-1)^n)_n$ [/mm] überhaupt konvergieren? Sie hat ja schließlich die beiden Häufungspunkte $-1 [mm] \not=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> du musst wenigstens 2 Folgen [mm]x_n[/mm] gegen 0 angeben, so dass
> [mm]sin/(x_n)[/mm] gegen versc heidene werte konvergiert.
nein, er kann auch eine Nullfolge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] so angeben, dass [mm] $\sin(1/x_n)$ [/mm] nicht konvergiert!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 26.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal hierzu:
> Alles klar !
> Ich zeige also jetzt: f(0) kann nicht so definiert werden,
> sodass f in 0 stetig ist.
> Sei [mm]x_k[/mm] := 1/k eine Nullfolge .
> Zu Zeigen: sin(1/x) ist divergent für x [mm]\to[/mm] 0
>
> [mm]\gdw[/mm] sin(1/1/k) für k [mm]\to \infty[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] sin(k) für k [mm]\to \infty[/mm]
>
> Man sieht , dass sin(k) für k [mm]\to \infty[/mm] keinen Grenzwert
> besitzt
man kann es vermuten, weil ein Graph/Plot das Indiz dafür liefert, aber "sehen" tun wir so nichts!
> ( Sollte man das beweisen ?)
Ja. Aber das war viel zu kompliziert gedacht. Wenn man es hätte so beweisen wollen, wie Du angefangen hast,müßte man vielleicht den MWS und geeignete Abschätzungen hernehmen. Vielleicht gibt's aber auch einfachere Argumente!
> und damit kann man
> sin(1/x) in x=0 nicht stetig definieren.
> Stimmt das so?
Ne. Wurde ja erklärt. Aber mal nebenbei: Du hättest beweisen können, dass [mm] $\lim_{0 < x \to 0}\sin(1/x)$ [/mm] genau dann existiert, wenn [mm] $\lim_{y \to \infty}\sin(y)$ [/mm] existiert. Und der Beweis, dass [mm] $\lim_{y \to \infty}\sin(y)$ [/mm] nicht existiert, geht dann analog, oder Du betrachtest direkt [mm] $y_n:=n*\pi/2\,.$ [/mm] (Hier hätte [mm] $(\sin(y_n))_n$ [/mm] dann drei paarweise verschiedene Häufungspunkte!)
Gruß,
Marcel
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