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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Fr 05.11.2004 | | Autor: | irmi01 |
Hallo.
meine Aufgabe lautet: Kubische Parabeln als Näherungsgraphen an die Sinuskurve.
Ich weiß, wie eine kubische Parabel aussieht und ich weiß wie eine Sinuskurve aussieht
Ich habe keine Ahnung wie ich anfangen muß!
Kann mir bitte jemand helfen.
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Hallo!
Also, als erstes schreibst du auf, wie eine kubische PArabel allgemein aussieht, also [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
[/mm]
Und dann berechnest du einzelne Werte einer Sinukurve, z. B. sin (0) =0, sin [mm] (\bruch{\pi}{2}=1 [/mm] usw.. Und dann musst du versuchen, a,b,c und d zu berechnen, so dass deine Funktion f die gleichen Funktionswerte liefert, also f(0)=0 usw..
Probierst du das mal aus und meldest dich dann wieder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Fr 05.11.2004 | | Autor: | irmi01 |
Hallo Bastiane,
ich habe schon Probleme a, b und c auszurechnen. Ich weiß, dass d=0 sein muß, damit f(0) = 0.
f(1)=a+b+c
Muß ich jetzt a+b+c gleich dem f(1)-Wert der Sinuskurve setzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo irmi
ich hoffe, dass mich Bastiane nicht umbringen wird, aber ich will vielleicht einen etwas anderen Ansatz zeigen. Wie schon Bastiane gesagt hat, beginnst du am besten mit dem Polynom 3. Grades:
[mm] $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
[/mm]
Ich nehme mal an (du hast das zwar nicht erwähnt), dass die Parabel die Sinuskurve beim Punkt $x=0_$ möglichst gut annähern soll.
So hast du ja bereits herausgefunden, dass dann $d=0_$ sein muss. Sehr gut. 
Was ich jetzt aber etwas anders machen würde ist Folgendes:
Überlege einmal, dass die Sinusfunktion eine ungerade Funktion ist. Deine kubische Parabel soll also auch eine ungerade Funktion sein. Weisst du, was dass dann für die Koeffizienten bedeutet?
Wenn dieser Schritt getan ist, dann kannst du dir überlegen: wie gross ist die Steigung des Sinus bei $x=0_$?
Du berechnest also die Steigung deines Polynoms und sorgst dafür, dass die Steigung des Polynoms bei der Stelle $x=0_$ ebenso gross ist wie beim Sinus. (Das sollte dann $c_$ ergeben)
Das Gleiche machst du für die 2. Ableitung bei der Stelle $x=0_$, wenn das nichts Neues bringt, dann halt auch die 3. Ableitung (das sollte dann $a_$ ergeben), und die Aufgabe ist gelöst.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paulus!
Keine Angst, ich bringe dich schon nicht um. Hatte nicht allzu lange über die Aufgabe nachgedacht, aber ich hätte es glaube ich trotzdem so gemacht. Aber dein Ansatz hört sich auch gut an.
In welchem Bereich kann denn eigentlich eine Funktion 3. Grades sich dem Sinus annähern? Nur innerhalb einer halben Periode? Ich hatte überlegt, ob man nicht vielleicht mit einer Funktion vierten Grades auch in einem größeren Bereich sich dem Sinus annähern könnte. Schließlich hat solch eine Funktion ja schon mal mehrer Tief- bzw. Hochpunkte.
Aber das ist nur so eine spontage Frage von mir, wenn ich es unbedingt ganz schnell wissen wollte, könnte ich es sicher auch mit ausprobieren herausfinden. Aber vielleicht weißt du das ja auch so?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
Wie Christian19 schon richtig bemerkt hat schlägt Paulus ja eine Taylorentwicklung(in 0) vor. Wenn Du Dir das Restglied der Taylorentwicklung(3. 4. Grades) anschaust wirst Du sehen was passiert wenn man weiter weg geht. Wenn du Regression benutzt wird durch Erhöhung der Freiheitsgrade natürlich auch die Anpassung besser.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Fr 05.11.2004 | | Autor: | irmi01 |
Hallo Paulus,
ich werde mich mit deiner Antwort auseinandersetzen und hoffe, dass ich eine lösung finde.
Sollte ich noch Fragen haben, werde ich mich wieder melden.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Irmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Christian |
Ich weiß leider nicht ganz, wie ich die Frage verstehen soll, Christiane, denn wie gut die Kurve f(x)=sinx annähert hängt ja davon ab, was man mit gut meint...
prinzipiell aber hast Du schon recht, denn grob nähert ein polynom 3. grades (das ja in der regel 2 extrema hat), den sinus bis zur halben periode an. da die ganze geschichte aber ungerade ist, hat man im endeffekt, da das Polynom p(x)=p(-x) dennoch eine ganze perione angenähert.
paulus schlägt ja im prinzip eine approximation mit einem taylor-polynom vor, das gute daran ist, daß sich dieser ansatz bis hin zu beliebiger genauigkeit auf ganz |R treiben läßt...
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