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Sehr elementare Zahlentheorie ;): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:06 Do 27.11.2003
Autor: ministel

Also ich pruckel grad aus reinem Interesse an ein paar (äußerst elementaren ;-)) Beweisen rum, bei denen ich nicht weiß, was ich voraussetzen kann.
Bin wirklich noch ganz am Anfang, aber mich würde einfach mal interessieren, ob das so richtig formuliert ist.

Es gilt:
a|b <=> es gibt ein c, sodass b = ac (wobei a,b,c aus Z)

Jetzt will ich zeigen:
a|b => für alle c gilt: a|bc

Geht das so? :
a|b => es gibt c', sodass b = ac'. Wähle nun c' so, dass c' = d/c. => b = ad/c => bc = ad => a|bc

Irgendwie trivial, aber das ist so grundlegend, dass ich gar nicht weiß, was ich verwenden darf und was nicht.

        
Bezug
Sehr elementare Zahlentheorie ;): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:34 Do 27.11.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

> Also ich pruckel grad aus reinem Interesse an ein paar (äußerst
> elementaren ;-)) Beweisen rum, bei denen ich nicht weiß, was
> ich voraussetzen kann.

Hast du dir Stefans Tipp, die Vorlesung vorzuarbeiten, so zu Herzen genommen, dass du direkt 3 Monate früher beginnst ;-)?

> Bin wirklich noch ganz am Anfang, aber mich würde einfach mal
> interessieren, ob das so richtig formuliert ist.
>
> Es gilt:
> a|b <=> es gibt ein c, sodass b = ac (wobei a,b,c aus Z)

Das sehe ich auch so.

> Jetzt will ich zeigen:
> a|b => für alle c gilt: a|bc
>
> Geht das so? :
> a|b => es gibt c', sodass b = ac'. Wähle nun c' so, dass c' =
> d/c. => b = ad/c => bc = ad => a|bc

Das scheint mir reichlich kompliziert, vielleicht weil ich es an einigen Stellen logisch nicht nachvollziehen konnte.

Du schreibst: "a|b => es gibt c', sodass b = ac'"
Direkt danach aber: "Wähle nun c' so..."
Das c' kann nicht gewählt werden, es ist durch irgendein "Orakel", das sich in dem Satz "a|b => es gibt c'..." verbirgt, vorgegeben.
Vielleicht meintest du aber auch, "Wähle nun ein d so, dass c'=d/c", ja, ich glaube, das war nur ein Tippfehler von dir.
Allerdings halte ich das an dieser Stelle gewagt (es ist natürlich richtig), dass das d so gewählt werden kann; da benutzt du ja schon irgendwie die ganze Teilbarkeitstheorie.

Ich würde es so machen:
a|b
<=> es gibt c', sodass b = ac'
<=> bc = ac'c
<=> bc = a(c'c)
=> a|bc, da es ein d gibt mit bc=ad (dieses d = cc')

Naja, es ist im wesentlichen dein Beweis, allerdings ohne Divisionen, nur mit einer trivialen Äquivalenzumformung durch die Multiplikation mit c.

Ah, und noch etwas: Was ist denn mit c=0? Bei deinem Beweis müßtest du jetzt noch eine Fallunterscheidung machen, bei meinem nicht (puh, ich dachte schon, ich würde einfach nur meckern, aber das scheint ein echter Vorteil meines Beweises zu sein.)

Gute Nacht,
Marc.


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