Scheitelpunkt < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Mi 18.05.2005 | | Autor: | TheMesna |
Moin
Ist Scheitelpunkt und Wendepunkt das selbe? Der Wendepunkt in einer Parabel ist der Punkt, dessen Tangente die Steigung 0 aufweißt, richtig? Ist das dann bei Kurven höherer Ordnungen auch so?
Sorry für die vielen Fragen so früh am Morgen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Ist Scheitelpunkt und Wendepunkt das selbe?
Nein.
> Der Wendepunkt
> in einer Parabel ist der Punkt, dessen Tangente die
> Steigung 0 aufweißt, richtig?
Nein.
> Ist das dann bei Kurven
> höherer Ordnungen auch so?
Hier müsstest du genau schreiben, was du meinst.
Ich denke du verwechselst hier etwas. Punkte, an denen die Tangente die Steigung $0$ besitzt, nennt man lokale Extrempunkte. Dies können im Falle einer Parabel (also einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades der Form [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$) [/mm] Maxima und Minima sein.
Im Falle höherer ganzrationaler Funktionen gibt es auch Punkte, deren Tangente die Steigung $0$ besitzt, ohne dass es sich um lokale Extrema handelt. Dies sind sogenannte Sattelpunkte (Beispiel: der Punkt $(0/0)$ bei der Funktion [mm] $f(x)=x^3$).
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]") 
> Ist Scheitelpunkt und Wendepunkt das selbe? Der Wendepunkt
> in einer Parabel ist der Punkt, dessen Tangente die
> Steigung 0 aufweißt, richtig? Ist das dann bei Kurven
> höherer Ordnungen auch so?
Nur noch eine kleine Ergänzung zu Julius' Antwort:
Für die Definition des Scheitelpunktes siehe hier:  Scheitelpunkt
Meines Wissens gibt es Scheitelpunkte nur bei Parabeln und nicht bei Funktionen höherer Ordnung.
Einen Wendepunkt (bzw. eine Wendestelle) kannst du dir immer so vorstellen:
Du fährst mit dem Fahrrad auf der Kurve, z. B. von links nach rechts. Wenn du nun z. B. auf einer Parabel fährst, nehmen wir mal die Normalparabel [mm] f(x)=x^2, [/mm] dann kommst du, wenn du von "links nach rechts" fährst, aus dem Unendlichen, und dein Lenker hat immer eine (ganz leichte) "Linksdrehung", ist also nicht exakt geradeaus gerichtet. Je näher du dem Scheitelpunkt, also der Stelle (0/0) kommst, umso stärker wird die Linksdrehung deines Lenkers. Hast du diesen Punkt überwunden, so wird die Linksdrehung wieder schwächer, der Lenker ist aber immer noch nach links und nicht nach rechts!!! gedreht. Die Parabel hat also keinen Wendepunkt!
Nehmen wir nun die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] - sie besitzt an der Stelle x=0 eine Wendestelle (und sogar einen Sattelpunkt). Fährst du hier wieder von links nach rechts, so hat dein Lenker zuerst eine Rechtsdrehung, wenn du genau durch den Wendepunkt fährst, steht er für einen Bruchteil exakt geradeaus, um sich danach nach links zu drehen. Kannst du dir das vorstellen? Und das besagt der Wendepunkt: die "Drehung" ändert sich von links nach rechts oder von rechts nach links. (Bei diesem Sattelpunkt hier ist im Punkt selber die Drehung =0, das besagt auch die Eigenschaft, dass an dieser Stelle die Ableitung gleich 0 ist, oder, falls du das noch nicht gehabt hast, die Tangente. Allerdings ist diese ja auch an Extremstellen, also Hoch- und Tiefpunkten (und somit auch am Scheitelpunkt) =0, was dich wahrscheinlich etwas durcheinandergebracht hat.)
Ist denn jetzt alles klar?
> Sorry für die vielen Fragen so früh am Morgen :)
Kein Problem - schön, dass es auch Leute gibt, die sich so früh am Morgen mit Mathe beschäftigen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Hier steht noch was zum Wendepunkt: ![[]](/images/popup.gif) Wendepunkt
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