Satz des Pythagoras < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Über den Katheten und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks werden Halbkreise errichtet.
Zeige, dass der Flächeninhalt des Halbkreises über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächeninhalte der Halbkreise über den Katheten ist. |
Das ist eine Aufgabe aus meiner letzten Mathearbeit, die ich nun berichtigen muss.
Ich habe mir bei der Aufgabe natürlich direkt gedacht, dass das mit dem Satz des Pythagoras zu tun hat. Habe dann folgendes aufgeschrieben:
a²+b²=c²
Also gilt auch:
http://img211.imageshack.us/img211/1687/aufgabevb2.jpg (Habe das als Bild gemacht, da mir das mit den Formeln hier zu kompliziert war.)
Neben der zweiten Gleichung hat meine Lehrerin ein dickes "f" gemacht, ist folglich also falsch ;) Könnt ihr mir sagen, wie ich die Aufgabe optimal löse?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Steffen90!
> Über den Katheten und der Hypotenuse eines rechtwinkligen
> Dreiecks werden Halbkreise errichtet.
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> Zeige, dass der Flächeninhalt des Halbkreises über der
> Hypotenuse gleich der Summe der Flächeninhalte der
> Halbkreise über den Katheten ist.
> Das ist eine Aufgabe aus meiner letzten Mathearbeit, die
> ich nun berichtigen muss.
> Ich habe mir bei der Aufgabe natürlich direkt gedacht,
> dass das mit dem Satz des Pythagoras zu tun hat. Habe dann
> folgendes aufgeschrieben:
>
> a²+b²=c²
> Also gilt auch:
> http://img211.imageshack.us/img211/1687/aufgabevb2.jpg
> (Habe das als Bild gemacht, da mir das mit den Formeln hier
> zu kompliziert war.)
>
> Neben der zweiten Gleichung hat meine Lehrerin ein dickes
> "f" gemacht, ist folglich also falsch ;) Könnt ihr mir
> sagen, wie ich die Aufgabe optimal löse?
Da ist doch die Wurzel zu viel, oder? Ich würde es so machen:
Zu zeigen ist:
[mm] \br{1}{2}\pi(\br{a}{2})^2+\br{1}{2}\pi(\br{b}{2})^2=\br{1}{2}\pi(\br{c}{2})^2
[/mm]
das formen wir also so lange um, bis eine Gleichung da steht, die offensichtlich gilt:
[mm] \gdw \br{1}{2}\pi(\br{a^2}{4}+\br{b^2}{4})=\br{1}{2}\pi(\br{c^2}{4})
[/mm]
[mm] \gdw \br{1}{8}\pi(a^2+b^2)=\br{1}{8}\pi c^2
[/mm]
[mm] \gdw \br{1}{8}\pi(a^2+b^2-c^2)=0
[/mm]
Und das gilt natürlich wegen des Satzes des Pythagoras. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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