Ring bzw nullteilerfrei < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 So 21.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Ich quäle Euch schon wieder 
Und habe gleich 2 Fragen.
1. nullteilerfrei bedeutet doch: In einem Ring [mm][/mm] gibt es keine Elemente [mm]\not=0[/mm] die miteinander multipliziert 0 ergeben.
Ist diese 0 wirklich "die" 0? Was mache ich mit einem Ring in dem es kein Element 0 gibt? Oder gibt es so einen Ring gar nicht? Ich bräuchte das ja um zu zeigen, das es ein Integritätsbereich ist bzw wenn ich zeigen möchte das die Struktur ein Körper ist, muß ich ja 0*a=a*0=0 für alle [mm]a\in R[/mm] zeigen können.
2. Diesmal geht es darum, zu zeigen ob eine algebraische Struktur Halbring, Ring oder Körper ist:
[mm]M={a,b}[/mm] mit
Addition: a+a=b, a+b=b+a=a,b+b=b
Multiplikation: a*a=a, a*b=b*a=b*b=b
ich bekomme folgende Lösung
[mm][/mm] abelsche Gruppe
[mm][/mm] abelsches Monoid (b hat kein Inverses)
und (ich vermute) die Distributivgesetze gelten - wie kann man das allgemein beweisen? Ich habe für ein paar Werte eingesetzt.
also wäre die Struktur ein Ring.
Ich sag schon mal danke für jeden Rat!
lg
Felidae
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Hallo Felidae!
> Ich quäle Euch schon wieder
Kein Problem, wir lassen uns ja schließlich quälen!
> Und habe gleich 2 Fragen.
>
> 1. nullteilerfrei bedeutet doch: In einem Ring [mm][mm][/mm][/mm] gibt es keine Elemente [mm][mm]\not=0[/mm][/mm] die miteinander multipliziert 0 ergeben. [/mm][/mm]
> [mm][mm]Ist diese 0 wirklich "die" 0? Was mache ich mit einem Ring in dem es kein Element 0 gibt? Oder gibt es so einen Ring gar nicht? Ich bräuchte das ja um zu zeigen, das es ein Integritätsbereich ist bzw wenn ich zeigen möchte das die Struktur ein Körper ist, muß ich ja 0*a=a*0=0 für alle [mm][mm]a\in R[/mm][/mm] zeigen können.[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
Also, mit 0 ist in der Regel das neutrale Element der Addition gemeint, unser Prof hat immer noch ein kleines K für Körper oder R für Ring daran gehängt, damit man auch genau wusste, was gemeint ist. Es gibt auch Körper oder Ringe, die zum Beispiel aus den Elemente + und * und sonstwas bestehen, du kannst hier schließlich eine Addition und Multiplikation definieren, wie du willst, aber ein neutrales Element muss es dann auch geben, und das kann unter Umständen auch * sein.
Und ein solches neutrales Element gibt es in jeder Gruppe (gehört zur Gruppendefinition), und somit auch in jedem Ring (der besteht ja aus einer Gruppe) und natürlich auch in jedem Körper (der besteht ja ebenfalls aus einer Gruppe).
> [mm][mm][mm]2. Diesmal geht es darum, zu zeigen ob eine algebraische Struktur Halbring, Ring oder Körper ist:[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm]M={a,b}[/mm][/mm] mit [/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm]Addition: a+a=b, a+b=b+a=a,b+b=b[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] Multiplikation: a*a=a, a*b=b*a=b*b=b[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm]ich bekomme folgende Lösung [/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][/mm][/mm] abelsche Gruppe[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [mm][mm][/mm][/mm] abelsches Monoid (b hat kein Inverses)[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] und (ich vermute) die Distributivgesetze gelten - wie kann man das allgemein beweisen? Ich habe für ein paar Werte eingesetzt.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm]also wäre die Struktur ein Ring.
So, die zweite Aufgabe überlasse ich erstmal jemandem anders.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 So 21.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hallo Bastiane!
Danke für Deine rasche Antwort. Unser Prof hat das Nullelement immer mit 0 angeschrieben und auch in seinen Mathematikbüchern ist es so angeführt.
Ich glaube ich lerne zu viel in den letzten Tagen, irgendwie war ich mit den vielen Zeichen 0, a, b, ... total verwirrt.
Nullteilerfrei könnte man dann eigentlich auch nullelementteilerfrei nennen
lg
Felidae
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 So 21.11.2004 | | Autor: | andreas |
> Hi!
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> Ich quäle Euch schon wieder
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> Und habe gleich 2 Fragen.
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> 1. nullteilerfrei bedeutet doch: In einem Ring [mm][/mm] gibt es keine Elemente [mm]\not=0[/mm] die miteinander multipliziert 0 ergeben. [/mm]
> Ist diese 0 wirklich "die" 0? Was mache ich mit einem Ring in dem es kein Element 0 gibt? Oder gibt es so einen Ring gar nicht? Ich bräuchte das ja um zu zeigen, das es ein Integritätsbereich ist bzw wenn ich zeigen möchte das die Struktur ein Körper ist, muß ich ja 0*a=a*0=0 für alle [mm]a\in R[/mm] zeigen können.
wie Bastiane schon geschrieben hat: es handelt sich im prinzip nicht um "die" 0 aus [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] sondern einfach nur um ein additiv neutrales element, also um ein element für das gilt [m] a + 0 = 0 + a = a [/m] für alle elemente $a$ des rings.
> 2. Diesmal geht es darum, zu zeigen ob eine algebraische Struktur Halbring, Ring oder Körper ist: [mm]M={a,b}[/mm] mit
> Addition: [mm] a+a=b, a+b=b+a=a,b+b=b[/mm]
> Multiplikation: [mm]a*a=a, a*b=b*a=b*b=b[/mm]
> ich bekomme folgende Lösung [mm][/mm] abelsche Gruppe[mm][/mm] abelsches Monoid (b hat kein Inverses)
> und (ich vermute) die Distributivgesetze gelten - wie kann man das allgemein beweisen?
das kann man hier glaube ich nur mit "brute focre" nachrechnen, also alle kombinationen ausprobieren. da du aber schon gezeigt hast, dass alles kommutativ ist, geht das recht schnell.
> Ich habe für ein paar Werte
> eingesetzt.
> also wäre die Struktur ein Ring.
das wäre dann sogar ein körper. denn das additiv neutrale (die "$0$") braucht ja im allgemeinen kein multiplikativ inverses zu haben (die "$0$" in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] hat ja auch kein multiplikativ inverses). sagt dir [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] etwas - der körper mit $2$ elementen? zu dem ist diese struktur nämlich isomorph!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Do 25.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hallo Andreas!
Meine Antwort hat leider ein wenig gedauert, ich war am lernen und bin nicht früher dazugekommen mich zu melden. [mm] \IF_{2} [/mm] kenne ich nicht, nur [mm] \IZ_{2}. [/mm]
Aber kann es sein, daß du dich geirrt hast bezüglich des multiplikativen Inversen der 0? Es stimmt, in [mm] \IR [/mm] hat 0 kein multiplikatives Inverses, allerdings braucht es das ja auch nicht, weil [mm]<\IR,+,*>[/mm] ist Körper und da gilt [mm]<\IR\setminus\{0\},*>[/mm] ist abelsche Gruppe. Für [mm]<\IR,*>[/mm] gilt dies nicht. (Zumindest haben wir das auch so in der Vorlesung durchgenommen.) Aber falls ich mich geirrt haben sollte, dann korrigier mich bitte!
lg
Felidae
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Hallo Felidae!
> Aber kann es sein, daß du dich geirrt hast bezüglich des
> multiplikativen Inversen der 0? Es stimmt, in [mm]\IR[/mm] hat 0
> kein multiplikatives Inverses, allerdings braucht es das ja
> auch nicht, weil [mm][mm]<\IR,+,*>[/mm][/mm] ist Körper und da gilt [mm][mm]<\IR\setminus\{0\},*>[/mm][/mm] ist abelsche Gruppe. Für [mm][mm]<\IR,*>[/mm][/mm] gilt dies nicht. (Zumindest haben wir das auch so in der Vorlesung durchgenommen.) Aber falls ich mich geirrt haben sollte, dann korrigier mich bitte![/mm]
Ich sehe nicht so ganz, was du anders meinst, als dir in dem Beitrag vorher geschrieben wurde, aber ich meine, das hier stimmt!
Die 0 in [mm] \IR [/mm] hat kein multiplikativ Inverses und braucht es nicht, wie du richtig begründet hast. Was also möchtest du noch mehr wissen?
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Do 25.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Ich habe die Antwort so verstanden, daß das Nullelement der Addition auch für den Fall, daß <M,*> gemeint ist, kein additives Inverses benötigt. Aber gerade festgestellt, daß ich die Antwort falsch verstanden habe, denn es war ja ein Körper gemeint! Sorry - mein Fehler!
Aber ein weiteres Problem habe ich noch. Wieso ist <M,+,*> isomorph zu [mm] \IF_{2}? [/mm] Wenn ich richtig nachgelesen habe, dann stimmt zwar die Addition <M,+> mit [mm] \IF_{2} [/mm] überein, aber bei <M,*> ist 0 und 1 vertauscht oder?
lg
Felidae
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 07.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Felidae!
> > Aber ein weiteres Problem habe ich noch. Wieso ist <M,+,*>
> isomorph zu [mm]\IF_{2}?[/mm] Wenn ich richtig nachgelesen habe,
> dann stimmt zwar die Addition <M,+> mit [mm]\IF_{2}[/mm] überein,
> aber bei <M,*> ist 0 und 1 vertauscht oder?
Nein, es gilt $a=1$ und $b=0$. Da ist nichts vertauscht. Ich sehe jetzt nicht, wo dein Problem liegt. Falls du noch daran interessiert bist: Kannst du es bitte noch einmal sagen, was daran unklar ist?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Do 09.12.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi,
danke für Deine Antwort! Ich habe mir jetzt nochmal die Operationstafeln aufgeschrieben und muß mich da beim letzten Mal geirrt haben, denn es paßt eh so, wie du sagst! Vielleicht lag es auch am Vorprüfungsstreß  .
Danke auf jeden Fall!
lg
Felidae
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