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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:32 Do 31.05.2012 | | Autor: | diemelli1 |
| Aufgabe | Residuensatz, berechne:
i) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx}{x^2-2x+5}
[/mm]
ii) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx e^{-ikx}}{x^2+1}
[/mm]
iii) [mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{dx x}{x^5+1} [/mm] |
Folgendes habe ich schon berechnet, bin mir aber unsicher ob das stimmt.
i) hat Nullstelle bei 1-2i und 1+2i
Res (1-2i) = [mm] \bruch{1}{2x-2}|_{1-2i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(1-2i)-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-4i}
[/mm]
Res (1+2i) = [mm] \bruch{1}{2x-2}|_{1+2i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(1+2i)-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{+4i}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx}{x^2-2x+5} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] (\bruch{-1}{4i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4i}) [/mm] = [mm] \bruch{2\pi i(-2)}{4i} [/mm] = [mm] \bruch{-4\pi i}{4i} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
stimmt das?
ii) hat Nullstellen bei -i und +i
Res (-i) = [mm] \bruch{e^{-ikx}}{2x}|_{-i} [/mm] = [mm] \bruch{e^{-ik(-i)}}{2(-i)} [/mm] = [mm] \bruch{e^{+ki^2}}{-2i}
[/mm]
Res (i) = [mm] \bruch{e^{-ikx}}{2x}|_{+i} [/mm] = [mm] \bruch{e^{-ik(i)}}{2(i)} [/mm] = [mm] \bruch{e^{+k-i^2}}{2i}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx e^{-ikx}}{x^2+1}
[/mm]
= [mm] 2\pi i(\bruch{e^{+ki^2}}{-2i} [/mm] - [mm] \bruch{e^{+k-i^2}}{2i}) [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] (\bruch{-e^{+ki^2} -e^{-i^2k}}{2i}) [/mm] = [mm] \pi (-e^{+ki^2} [/mm] - [mm] e^{-i^2k})
[/mm]
wie kann ich hier weiter kürzen?
iii) woran erkenne ich das eine einfache Nullstelle habe? Wie muss ich in diesem Fall vorgehen?
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Hallo diemelli1,
> Residuensatz, berechne:
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> i) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx}{x^2-2x+5}[/mm]
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> ii) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx e^{-ikx}}{x^2+1}[/mm]
>
> iii) [mm]\integral_{0}^{\infty}\bruch{dx x}{x^5+1}[/mm]
>
> Folgendes habe ich schon berechnet, bin mir aber unsicher
> ob das stimmt.
>
> i) hat Nullstelle bei 1-2i und 1+2i
>
> Res (1-2i) = [mm]\bruch{1}{2x-2}|_{1-2i}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2(1-2i)-2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{-4i}[/mm]
>
> Res (1+2i) = [mm]\bruch{1}{2x-2}|_{1+2i}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2(1+2i)-2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{+4i}[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx}{x^2-2x+5}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i
> [mm](\bruch{-1}{4i}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4i})[/mm] = [mm]\bruch{2\pi i(-2)}{4i}[/mm] =
> [mm]\bruch{-4\pi i}{4i}[/mm] = [mm]\pi[/mm]
>
> stimmt das?
>
Es sind doch nur diejenigen Nullstellen zu berücksichtigen,
deren Imaginärteil größer Null ist.
Demnach ist nur das Residuum an 1+2i zu berücksichtigen.
> ii) hat Nullstellen bei -i und +i
>
> Res (-i) = [mm]\bruch{e^{-ikx}}{2x}|_{-i}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{-ik(-i)}}{2(-i)}[/mm] = [mm]\bruch{e^{+ki^2}}{-2i}[/mm]
>
> Res (i) = [mm]\bruch{e^{-ikx}}{2x}|_{+i}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{-ik(i)}}{2(i)}[/mm] = [mm]\bruch{e^{+k-i^2}}{2i}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx e^{-ikx}}{x^2+1}[/mm]
> =
> [mm]2\pi i(\bruch{e^{+ki^2}}{-2i}[/mm] - [mm]\bruch{e^{+k-i^2}}{2i})[/mm] =
> [mm]2\pi[/mm] i [mm](\bruch{-e^{+ki^2} -e^{-i^2k}}{2i})[/mm] = [mm]\pi (-e^{+ki^2}[/mm]
> - [mm]e^{-i^2k})[/mm]
>
> wie kann ich hier weiter kürzen?
>
Es ist doch hier nur Res(i) zu berücksichtigen.
> iii) woran erkenne ich das eine einfache Nullstelle habe?
> Wie muss ich in diesem Fall vorgehen?
Löse die Gleichung
[mm]x^{5}+1=0[/mm]
Eine Nullstelle ist sofort ersichtlich.
Gruss
MathePower
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@ Mathepower ....stimmt, dass ich nur die Nullstellen berücksichtigen muss deren Imaginärteil größer Null ist.
also kommt bei i) folgendes heraus:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx}{x^2-2x+5} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] (\bruch{1}{4i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \pi
[/mm]
und bei ii)
[mm] 2\pi i(\bruch{e^{-i^2k}}{2i})= \pi e^{-i^2k}
[/mm]
kann ich hier noch etwas kürzen oder umschreiben?
bei iii) kommt -1 als Nullstelle heraus. Aber es müsste doch noch mehr geben?
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Hallo diemelli1,
> @ Mathepower ....stimmt, dass ich nur die Nullstellen
> berücksichtigen muss deren Imaginärteil größer Null
> ist.
>
> also kommt bei i) folgendes heraus:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{dx}{x^2-2x+5}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i
> [mm](\bruch{1}{4i})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \pi[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und bei ii)
>
> [mm]2\pi i(\bruch{e^{-i^2k}}{2i})= \pi e^{-i^2k}[/mm]
> kann ich hier
> noch etwas kürzen oder umschreiben?
>
Zum Beispiel kannst Du das [mm]i^{2}[/mm] ersetzen.
> bei iii) kommt -1 als Nullstelle heraus. Aber es müsste
> doch noch mehr geben?
Mit der Moivre-Formel bekommst Du alle Nullstellen.
Gruss
MathePower
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Danke für die schnelle Antwort.
zu iii) Ich habe folgende Nullstellen heraus bekommen:
x1= -1
x2= [mm] \wurzel[5]{-1} [/mm] = 0,0809017 + 0,587785i
x3= [mm] -(-1)^\bruch{2}{5} [/mm] = -0,309017 - 0,951057i
x4= [mm] (-1)^\bruch{3}{5} [/mm] = -0,309017 + 0,951057i
x5= [mm] -(-1)^\bruch{4}{5} [/mm] = 0,809017 - 0,587758i
Da ich mir nur die Nullstellen anschaue, bei denen der i-teil größer Null ist, kommen also nur x1, x2 und x4 in Frage.
Nun berechne ich
Res (x1) = [mm] \bruch{x}{5x^4} [/mm] |x1 = [mm] \bruch{-1}{5(-1)^4} [/mm] = -1
Res (x2) = [mm] \bruch{x}{5x^4} [/mm] |x2 = [mm] \bruch{0,809017 + 0,587783i}{5(0,809017 + 0,587785i)^4}= \bruch{1}{5(0,809017 + 0,587785i)^3}
[/mm]
Res(x4) = [mm] \bruch{x}{5x^4} [/mm] |x4 = [mm] \bruch{-0,309017 + 0,951057i}{5(-0,309017 + 0,951057i)^4}= \bruch{1}{5(-0,309017 + 0,951057i)^3}
[/mm]
Stimmt das soweit? Kommt mir irgendwie nicht richtig vor.
Kann ich nun mit den 3 Nullstellen analog zu 2 Nullstellen vorgehen?
d.h.
[mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{x}{x^5+1}dx [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i( Res x1 - Res x2) + (Res x2 - Res x4) ??
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Worauf willst du überhaupt hinaus? Nachdem sich das Integral nicht über das gesamte Intervall von [mm]- \infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] erstreckt (was wegen der Singularität bei [mm]x=-1[/mm] ja auch gar nicht ginge), kann auch die fertige Formel für solche Integrale nicht verwendet werden. Du mußt von vorneherein anders vorgehen.
Eine Möglichkeit besteht darin, über den positiv orientierten Rand [mm]\gamma_R[/mm] eines Kreissektors um 0 vom Radius [mm]R>1[/mm] zu integrieren, dessen Bogen von [mm]R[/mm] bis [mm]R \omega^2[/mm] reicht, wobei [mm]\omega = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\pi}{5}}[/mm] die primitive zehnte Einheitswurzel im ersten Quadranten ist. Jetzt hilft der Residuensatz. Einziger Pol im Kreissektor ist [mm]z = \omega[/mm]. Für [mm]R \to \infty[/mm] verschwindet das Integral über den Kreisbogen (das kann man schnell mit der Standardabschätzung nachweisen), die Integrale über die Strecken geben zusammen aber [mm](1 - \omega^4) \cdot \int_0^{\infty} \frac{x}{x^5 + 1} ~ \mathrm{d}x[/mm].
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Leopold,
leider verstehe ich nicht ganz warum [mm] (1-\omega^4) \integral_{0}^{\infty}\bruch{x}{x^5+1}dx
[/mm]
Ich habe in einem Skript eine ähnliche Aufgabe gefunden.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{1}{x^4+1} [/mm]
hier sind die Nullstellen [mm] z1=e^{\bruch{i\pi}{4}} [/mm] und [mm] z2=e^{\bruch{3i\pi}{4}} [/mm]
Res bei z1= [mm] \bruch{1}{4(e^\bruch{i\pi}{4})^3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4e^\bruch{-3i\pi}{4}}
[/mm]
analog z2 ..... = [mm] \bruch{1}{4e^\bruch{-i\pi}{4}}
[/mm]
und das Integral ist nun [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{1}{4x^4+1}dx [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i * [mm] \bruch{1}{4} (e^\bruch{-3i\pi}{4} [/mm] + [mm] e^\bruch{-i\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}\pi
[/mm]
.... kann ich nicht analog der Aufgabe vorgehen?
d.h. Nullstelle bei [mm] e^\bruch{i\pi}{5}
[/mm]
Res [mm] (e^\bruch{i\pi}{5}) [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^5+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5(e^\bruch{i\pi}{5})^4}= \bruch{1}{5e^{\bruch{4i\pi}{5}}}
[/mm]
folglich wäre das Integral:
[mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{x}{x^5+1}dx [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] (\bruch{1}{5e^\bruch{4\pi i}{5}})= \bruch{2\pi i}{5e^\bruch{4\pi i}{5}} [/mm]
is das so Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 05.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mo 09.09.2013 | | Autor: | jean.s |
moinmoin,
sorry dafür, ich wollte das Thema mal pushen, mich interessiert die Antwort auf die letzen Fragen von diemelli1 :)
Hat jemand eine Idee?
Liebe Grüße,
jean
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Das Vorgehen, das diemelli1 von [mm]\frac{1}{x^4 + 1}[/mm] auf [mm]f(x) = \frac{x}{x^5 + 1}[/mm] übertragen will, funktioniert nicht. Das Integrationsintervall ist nicht [mm](-\infty,\infty)[/mm], sondern [mm](0,\infty)[/mm]. Und schon das reicht als Hindernis. Ja, wäre [mm]f(x)[/mm] eine gerade Funktion, dann könnte man das eine Intervall auf das andere zurückführen. Aber [mm]f(x)[/mm] ist nicht gerade. Und ganz abgesehen davon hat [mm]f(x)[/mm] bei [mm]x=-1[/mm] einen Pol, über den man nicht hinwegintegrieren darf. Kurzum: So geht es nicht! Man kann schließlich den Satz des Pythagoras auch nicht auf ein Dreieck anwenden, das nicht rechtwinklig ist.
Darüberhinaus hat diemelli1 ein verbotenes Verfahren auch noch falsch ausgeführt. Schließlich gibt es noch einen weiteren Pol in der oberen Halbebene. Auch kann das Ergebnis, das er erhalten hat, gar nicht stimmen, denn es stellt eine nicht-reelle Zahl dar. Ein Integral auf einem reellen Intervall über eine reelle Funktion kann aber nur einen reellen Wert besitzen. Kurzum: da stimmt nichts.
Wie man es machen kann, steht in meinem Beitrag. Es mag auch noch andere Möglichkeiten geben, die von diemelli1 ist jedenfalls keine.
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