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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Fr 05.12.2003
Autor: Ute

Wie ist die quadratische Ergänzung richtig angewendet?

Die Aufgabe lautet: y= -0,75x²-3x-2,5


y= -0,75x²-3x-2,5
y= -0,75 [(x² + 4x +4) –4 –2,5]
y= -0,75  [(x + 2)² -6,5]
y= -0,75 (x+2)² + 4,875
S (-2 | 4, 875)

oder

y=-0,75x²-3x-2,5
y= -0,75 (x² + 4x + 3,3)
y= -0,75 [(x²+4x+4)-4+3,3]
y= -0,75  [(x + 2)² -0,6]
y= -0,75 (x+2)² + 0,5

S ( -2 | 0,5)


oder ganz anders?

        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Fr 05.12.2003
Autor: Marc

Hallo Ute,

Ute schrieb:

> Wie ist die quadratische Ergänzung richtig angewendet?
>
> Die Aufgabe lautet: y= -0,75x²-3x-2,5
>
>
> y= -0,75x²-3x-2,5
> y= -0,75 [(x² + 4x +4) –4 –2,5]

Hier ist ein Fehler, denn du hast die -2,5 nicht auch durch -0,75 geteilt, obwohl du ja -0,75 ausgeklammert hast. Wenn du richtig ausgeklammert hättest, wäre exakt dein zweiter Lösungsvorschlag herausgekommen (der übrigens richtig ist).

Ich zeige dir noch einen weiteren:
y= -0,75x²-3x-2,5
y= -0,75 [(x² + 4x +4) –4] –2,5
y= -0,75 [(x+2)² –4] –2,5
y= -0,75 (x+2)² +3 –2,5
y= -0,75 (x+2)² +0,5

Der Unterschied zu deinem ersten Lösungsvorschlag liegt darin, dass die -2,5 gar nicht mit ausgeklammert wird (die eckige Klammer schließt ja schon vorher).

Dein zweiter Lösungsvorschlag ist richtig:

> y=-0,75x²-3x-2,5
> y= -0,75 (x² + 4x + 3,3)
> y= -0,75 [(x²+4x+4)-4+3,3]
> y= -0,75  [(x + 2)² -0,6]
> y= -0,75 (x+2)² + 0,5
>
> S ( -2 | 0,5)

[ok] Das ist richtig.

Alles Gute und schönen Abend,
Marc


Bezug
                
Bezug
Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Sa 06.12.2003
Autor: Ute

Dein zweiter Lösungsvorschlag ist richtig:

> y=-0,75x²-3x-2,5
> y= -0,75 (x² + 4x + 3,3)
> y= -0,75 [(x²+4x+4)-4+3,3]
> y= -0,75  [(x + 2)² -0,6]
> y= -0,75 (x+2)² + 0,5
>
> S ( -2 | 0,5)

Das ist richtig.



Gut, ich habe gerade noch mal versucht, meine Rechnung nachzuvollziehen, aber wie komme ich am Ende von -0,6 auf + 0,5 ??

Bezug
                        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Sa 06.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Ute,

> Gut, ich habe gerade noch mal versucht, meine Rechnung
> nachzuvollziehen, aber wie komme ich am Ende von -0,6 auf + 0,5
> ??

Gar nicht, weil es so nicht richtig ist. Du darfst hier nicht runden, sondern solltest mit Brüchen rechnen. Richtig geht es so:

y=-0,75x²-3x-2,5
y= -0,75 (x² + 4x + 10/3)
y= -0,75 [(x²+4x+4)-4+10/3]
y= -0,75 [(x²+4x+4)-12/3+10/3] (eingefügte Zeile)
y= -3/4  [(x + 2)² -2/3]
y= -3/4 (x+2)² + 1/2

Jetzt kannst du ja wieder in Dezimalzahlen umrechnen, wenn dir das lieber ist:

y= -0,75 (x+2)² +0,5


S ( -2 | 0,5)

Ist dir jetzt klar, wie man von -2/3 auf die 1/2 kommt? Man muss ja ausmultiplizieren und beide Summanden mit -0,75=-3/4 multiplizieren, einmal den quadratischen Term (x+2)² und dann auch die -2/3. Und es gilt: (-3/4)*(-2/3)=1/2.

Alles klar? :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                
Bezug
Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:22 So 07.12.2003
Autor: Ute

ja, ich denke, ich habs jetzt einigermaßen.
Mit 0,6666666 * (-0,75) komme ich ja auch auf 2,499999 und das ist gerundet 2,5.

Ich versuche jetzt noch mal eine kleine Regelung für die quadratische Ergänzung aufzustellen:

1. Faktor vor dem x² ausklammern, Faktor vor dem x * dem Kehrwert von dem Faktor vorm x² ergibt das x in der 2. Zeile
2. Den "neuen" x-Faktor halbieren, quadrieren und addieren und wieder subtrahieren
3. vom "neuen" x wieder die Wurzel ziehen und den in die Klammer (x + _ )² schreiben, den Rest zusammenfassen
4. den Rest mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren


Jetzt noch mal ne Frage: Warum nimmt man beim 1. Schritt den Kehrwert?
Und vom 2. auf den 3. Schritt ist mir auch noch nicht ganz klar, was mit dem (hier im Beispiel) +4 in der Klammer passiert? Fällt das einfach weg?

Bezug
                                        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 So 07.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Ute,

ich würde sagen, wir gehen deine Fragen an deinem konkreten Beispiel noch einmal durch.

ja, ich denke, ich habs jetzt einigermaßen.
Mit 0,6666666 * (-0,75) komme ich ja auch auf 2,499999 und das
ist gerundet 2,5.


Das verstehe ich nicht. Du meinst: [mm]0,4{\bar 9}=0,5[/mm]. Wo kommt denn die 2 vor dem Komma her?

Ich versuche jetzt noch mal eine kleine Regelung für die
quadratische Ergänzung aufzustellen:


Sehr gut, das hilft dir bestimmt! :-)

1. Faktor vor dem x² ausklammern, Faktor vor dem x * dem
Kehrwert von dem Faktor vorm x² ergibt das x in der 2. Zeile


Ja, es handelt sich um diesen Schritt hier:

y=-0,75x²-3x-2,5
y= -0,75 (x² + 4x + 10/3)

Hierzu hattest du eine Frage:

Warum nimmt man beim 1. Schritt den Kehrwert?

Was macht man denn beim Ausklammern? Man "zieht einen Faktor raus". Da man aber insgesamt den Term nicht verändern darf, muss man quasi durch die gegenteilige Rechenoperation wieder "alles neutralisieren". Sprich: Wenn ich bei -3x den Faktor -0,75=-3/4 rausziehen will, dann erhalte ich:

[mm]- \frac{3}{4} \cdot y \cdot (-3x)[/mm]

wobei das y so zu bestimmen ist, dass insgesamt wieder der ursprüngliche Term, also -3x da steht. Das kann man aber dadurch erreichen, dass man für y den Kehrwert des Bruches nimmt, den man rausgezogen hat, da das Produkt von Bruch und Kehrbruch gerade wieder 1 ergibt. Probieren wir das doch mal aus, setzen wir also [mm]y = -\frac{4}{3}[/mm]. Dann haben wir:

[mm]- \frac{3}{4} \cdot (-\frac{4}{3}) \cdot (-3x) = \frac{3\cdot 4}{4 \cdot 3} \cdot (-3x) = 1 \cdot (-3x) = -3x [/mm].

Der "x-Term" hat sich insgesamt also nicht verändert, und das sollte er ja auch nicht.

2. Den "neuen" x-Faktor halbieren, quadrieren und addieren und
wieder subtrahieren


Ja, das ist dieser Schritt hier:

y= -0,75 (x² + 4x + 10/3)
y= -0,75 [(x²+4x+4)-4+10/3]

3. vom "neuen" x wieder die Wurzel ziehen und den in die
> Klammer (x + _ )² schreiben, den Rest zusammenfassen


Das sind sozusagen diese Schritte hier:

y= -0,75 [(x²+4x+4)-12/3+10/3
y=-3/4 [(x + 2)² -2/3]

Dazu hattest du eine Frage:

Und vom 2. auf den 3. Schritt ist mir auch noch nicht ganz
klar, was mit dem (hier im Beispiel) +4 in der Klammer
passiert? Fällt das einfach weg?


Nein, die ist doch ein Teil des Ausdrucks [mm](x + 2)^2[/mm]. Denk doch mal an die Binomische Formel:

[mm](x+2)^2 = x^2 + 4x[/mm] +4.

Hier siehst du, wo die +4 geblieben sind. Sie sind in den Term [mm](x + 2)^2[/mm] mit eingegangen. Wenn man nun diesen Term mit der Binomischen Formel berechnet, tauchen sie wieder auf. Wir sind aber hier den umgekehrten Weg gegangen, haben also einen Term als Binomische Formel erkannt und ihn als quadratischen Ausdruck der Form [mm](x+c)^2[/mm] geschrieben. Das ist das Wesen der quadratischen Ergänzung: Sich sozusagen solche Terme basteln, auf die man dann "die 1. oder 2. Binomische Formel in die umgekehrte Richtung" anwenden kann. Auf diese Weise erhält man Ausdrücke der Form [mm](x+c)^2[/mm], mit deren Hilfe man zum Beispiel leicht den Scheitelpunkt (oder auch die Nullstellen) einer Parabel ablesen kann.

4. den Rest mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren

Ja, das ist dieser Schritt hier:

y=-3/4 [(x + 2)² -2/3]
y= -3/4 (x+2)² + 1/2

Jetzt klarer? :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
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