Problem bei Grenzwertberechnun < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:20 Fr 06.10.2006 | | Autor: | bold100 |
Hallo,
Ich habe ein Problem mit folgendem Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(e^{5*x}-2*x)^\bruch{^1}{x}
[/mm]
Ich weiss, dass als Ergebnis [mm] e^{5} [/mm] herauskommen soll.
Es wäre schön, wenn mir jemand den Einstieg erleichtern könnte.
Danke im Voraus
bold100
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo bold!
Aufgrund von [mm] $a^b [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(a)} \ \right]^b [/mm] \ = \ [mm] e^{b*\ln(a)}$ [/mm] kannst Du Deine Funktion umschreiben zu:
[mm] $\left(e^{5x}-2x\right)^\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{x}*\ln\left(e^{5x}-2x\right)}$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion darfst Du nun untersuchen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(e^{5x}-2x\right)}{x}$
[/mm]
Hier kommst Du weiter mit dem  Grenzwertsatz nach de l'Hospital (2-mal anwenden) ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Fr 06.10.2006 | | Autor: | bold100 |
Danke Loddar erstmal für deine Antwort.
Was mich jetzt ein wenig wundert ist die Tatsache mit dem 2-mal anwenden. Hier mal meine Formel nach der ersten Ableitung(Zähler und Nenner getrennt abgeleitet):
[mm] \bruch{\bruch{1}{(e^{5x} - 2x)}*5e^{5x} - 2}{1}
[/mm]
Nun kann ich doch nicht nochmal L'Hospital anwenden, da ich ja nun keinen Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] mehr habe, oder liege ich da falsch?
Danke schon mal im Voraus.
bold100
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Hallochen,
also deine Ableitung ist richtig. Man kann sie aber schöner aufschreiben. Die 1 im Nenner kannst du dir sparen. Die ändert nichts also steht dort
$ [mm] \bruch{\bruch{1}{(e^{5x} - 2x)}\cdot{}5e^{5x} - 2}{1} [/mm] $
[mm] =\bruch{1}{e^{5x}-2x}*(5e^{5x}-2)
[/mm]
[mm] =\bruch{(5e^{5x}-2)}{e^{5x}-2x}
[/mm]
Das kannst du nun noch mal ableiten. Versuche es mal. Das Ergebnis ist dann [mm] \bruch{25e^{5x}}{5e^{5x}-2}. [/mm] Das Problem ist nun noch die Summe im Nenner. Hier kannst du einen einfach Trick anwenden, nämlich [mm] e^{5x} [/mm] ausklammern (das kann man ohne Probleme tun, da [mm] e^{t}>0 \forall t\in\IR [/mm] ). So kommst du dann auf deinen Grenzwert 5 und insgesamt dann, wie von dir angekündigt, auf [mm] e^{5} [/mm] .
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
> Das Ergebnis ist dann [mm]\bruch{25e^{5x}}{5e^{5x}-2}.[/mm]
Weil es gerade soviel Spaß macht  , kann man alternativ auch nochmal den Herrn de l'Hospital bemühen und dann kürzen.
Gruß
Loddar
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Hallo Thorsten,
uups stimmt. Ist ja ne witzige Aufgabe. Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf! ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Viele Grüße
Daniel
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