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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Es sei [mm] P_2 [/mm] der Vektorraum aller reellen Polynome (in t) vom Grad höchstens 2 und [mm] L:P_2 \to P_2 [/mm] die lineare Transformation, die definiert ist durch [mm] L[at^2+bt+c]=(7a-10c)t^2+(-5a-3b+5c)t+(5a-8c).
[/mm]
i) Finden Sie die Darstellungsmatrix A für L bezüglich der Basis [mm] \{t^2,t,1\}.
[/mm]
ii) Verifizieren Sie, dass [mm] \lambda_1=2 [/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A ist und finden Sie die zwei anderen Nullstellen davon.
iii) Bestimmen Sie eine Basis für die Eigenräume von A.
iv) Benutzen Sie dies, um eine Basis B für [mm] P_2 [/mm] zu finden, die nur aus Eigenvektoren von L besteht und berechnen Sie dann die Darstellungsmatrix für L bezüglich B. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Das größte Problem ist, dass ich es bisher irgendwie nicht gecheckt hab, wie man darstellende Matrizen findet. Vielleicht kann mir das jemand erklären, damit ich mit der Aufgabe überhaupt mal anfangen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Berechne L(t²), L(t) und L(1)
z.B. ist L(t²)= 7t²-5t+5.
Dies liefert Dir als erste Spalte der gesuchten Matrix:
7
-5
5
Ist Dir nun klar wie es weitergeht ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chipbit |
Okay, das wäre an sich ja schon klar. Nur eine Frage zur Sicherheit: Du hast [mm] L(t^2) [/mm] einfach abgelesen, also alle Werte mit nem a dahinter, weil es [mm] L[at^2+bt+c] [/mm] heisst?
Dann wären L(t)=-3t und damit die zweite Spalte [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 0} [/mm] ? Und [mm] L(1)=-10t^2+5t-8 [/mm] und die dritte Spalte damit [mm] \vektor{-10 \\ 5 \\ -8} [/mm] ?
Daraus resultiert ja dann die Matrix [mm] \pmat{ 7 & 0 & -10 \\ -5 & -3 & 5 \\ 5 & 0 & -8 }
[/mm]
Als charakteristisches Polynom komme ich auf [mm] (7-\lambda)(-3-\lambda)(-8-\lambda)-(-3-\lambda)(-50)=(-3-\lambda)(\lambda^2+\lambda-6)
[/mm]
sooo, da muss ich mich irgendwie verrechnet oder falsch vereinfacht haben, denn wenn ich da jetzt 2 einsetze komme ich nicht auf 0. :(
Edit: Oh Gott, wie dämlich, habe mich total verrechnet, kommt doch 0 bei raus, wenn man 2 einsetzt.
Dann muss ich nur noch meine anderen Nullstellen finden.
Ich würde jetzt mal auf [mm] \lambda_2=-3 [/mm] tippen wegen [mm] (-3-\lambda) [/mm] naja und die dritte...mh??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chipbit |
Könnte mir jeamdn helfen? ich finde echt nich raus was die dritte Nullstelle ist? Wäre jetzt bei irgendwas mit [mm] \lambda_{3/4}=-\fbruch{1}{2}\pm i\bruch{23}{4} [/mm] , aber es sollen ja eigentlich nur 2 weiter Nullstellen sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:01 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Könnte mir jeamdn helfen? ich finde echt nich raus was die
> dritte Nullstelle ist? Wäre jetzt bei irgendwas mit
> [mm]\lambda_{3/4}=-\fbruch{1}{2}\pm i\bruch{23}{4}[/mm] , aber es
> sollen ja eigentlich nur 2 weiter Nullstellen sein.
Die dritte Nullstelle müsste doch unter den Nullstellen deines Polynoms [mm] $\lambda^2+\lambda-6$ [/mm] (das ich nicht nachgerechnet habe) zu finden sein:
[mm] $\lambda^2+\lambda-6=0$ [/mm]
 p/q-Formel anwenden:
[mm] $\gdw\ \lambda_{1,2}=-\bruch12\pm\wurzel{\bruch{25}{4}}$ [/mm]
[mm] $\gdw\ \lambda_{1,2}=-\bruch12\pm \bruch{5}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \lambda_1=-3\ \vee\ \lambda_2=2$
[/mm]
Ah, jetzt weiß ich, was dich verwirrt hat: Dass du nicht drei verschiedene Nullstellen ermitteln konntest, sondern eine doppelte (nämlich -3) und eine einfache (2). Die Formulierung des Aufgabentextes lässt es aber mMn zu, dass die drei Nullstellen nicht verschieden sein müssen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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