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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Do 20.11.2003
Autor: Nelly

Hallo!

ich habe eine Frage zu Polynomen, und zwar ist in der Aufgabe gegeben:
sei Q[X] die Menge der reellen Polynome mit rationalen Koeffizienten. Das heißt doch, wenn ich die Summe von k=0 bis n über a klein k mal x hoch k habe, das a eine rationale Zahl ist, und x eine reelle, so dass das Ergebnis am Ende auch reell ist,oder??
Weiter steht in der Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Menge A={x element C | ex. 0 un= p element Q[X]: p(x) =0} aller komplexer Nullstellen von Polynomen in Q[X] \ {0} abzählbar ist.
wo kommen da jetzt die komplexen Zahlen her?

        
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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Do 20.11.2003
Autor: Marc

Hallo Nelly,

willkommen im MatheRaum :-)!

Ich hoffe, es ist noch nicht zu spät für eine Antwort...

[mm] A=\left\{ x \in \IC | \exists \; 0 \neq p \in \IQ\lbrack X\rbrack:p(x)=0\right\} [/mm]

Die komplexen Zahlen kommen von der Menge A her, du sollst statt der reellen Zahlen komplexe Zahlen für x einsetzen.

Beispiel:
p(x)=x²+1

Dieses Polynom hat die beiden komplexen Nullstellen
[mm] x^2+1=0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow x^2=-1 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow x_1 = i \vee x_2=-i [/mm]

Der eigentliche Beweis dürfte mit dem Fundamentalsatz der Algebra kein Problem sein, aber es kann sein, dass ihr gerade den hier beweisen (und deswegen nicht benutzen) sollt.
Außerdem solltest du dir überlegen, warum es nur abzählbar viele Polynome in [mm]\IQ\lbrack X \rbrack[/mm] gibt...

Falls dir meine Tipps nicht genügen, frage einfach nach. :-)

Was macht Ihr denn gerade in der Vorlesung?

Gruß,
Marc


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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Do 20.11.2003
Autor: ministel

Hallo Nelly!
Du meinst diese: [mm]\sum_{k=0}^{n} a_kx^k[/mm] Reihendarstellung, oder?
Also du hast schon recht, die [mm]a_k[/mm] sind natürlich aus der Menge der rationalen Zahlen, da es sich dabei ja um die Koeffizienten handelt. x kann dabei natürlich aus den reellen Zahlen gewählt werden, und das Ergebnis wird sicherlich auch eine reelle Zahl sein. Aber wenn du dich nicht grad mit komplexen Zahlen rumschlägst, ist so ziemlich jede Zahl eine reelle Zahl. ;-)
Es kann also auch gut sein, dass dein Ergebnis sogar eine natürliche Zahl ist (und ebenso eine ganze oder rationale Zahl). Wenn du zum Beispiel das Polynom [mm]\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x[/mm] hast, hast du Koeffizienten aus der Menge der rationalen Zahlen, und wenn du für x zwei einsetzt, ist dein Ergebnis eine natürliche (und somit dann natürlich auch eine reelle) Zahl.

Zu der Aufgabe hab ich nen Ansatz, bei dem ich mir aber nicht ganz sicher bin, ob der so stimmt, weils mir irgendwie so einfach vorkommt. ;-) Ich werd ihn aber trotzdem mal aufschreiben, und falls er falsch ist, wird sicherlich Stefan oder Marc oder wer auch immer dazwischenbrüllen. ;-)

Wenn du Elemente aus den komplexen Zahlen wählst, bedeutet das, dass dein Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Du kannst es also als Produkt von "[mm]x - x_i[/mm]" schreiben, für alle Nullstellen [mm]x_i[/mm], die du erhälst. Also: [mm]p(x) = \prod_{i=1}^{n}(x-x_i)[/mm]. Und da dein Index nur bis n läuft, ist die Menge deiner Faktoren (und somit Nullstellen) endlich. Und ich hoffe auch irgendwie abzählbar, wenn man sie ordentlich sortiert. ;-)


Also ich hoffe, das hat ein bisschen geholfen. Falls nicht, helfen dir Stefan oder Marc oder sonstwer gerne, meine Verwirrung wieder zu entwirren. ;)



Nachricht bearbeitet (Do 20.11.03 19:31)

Ach, verdammt, jetzt war doch jemand schneller. ;(

Aber ich war mir ja eh nicht sicher, obs stimmt. ;-)

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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Do 20.11.2003
Autor: Marc

Hallo Nelly und ministel,

wollte nur kurz zwei kleine Sachen anmerken:

1. Was ministel als [mm] p(x)=a_n*\prod\limits_{i=1}^{n}(x-x_i)[/mm] aufschrieb, ist genau der Fundamentalsatz der Algebra
(An ministel: Ich habe ich noch den Koeffizienten [mm]a_n[/mm] ergänzt.)

2. Die Menge A enthält ja nicht nur die Nullstellen eines bestimmten Polynoms, sondern die Nullstellen aller Polynome aus [mm]\IQ\lbrack X\rbrack[/mm]. Warum ist A trotzdem abzählbar?

Gruß,
Marc



Nachricht bearbeitet (Do 20.11.03 23:38)

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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Do 20.11.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

hey, warum hast du denn deine Antwort gelöscht? Die war doch gut...

Darf ich sie wieder rekonstruieren?

Gruß,
Marc


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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Do 20.11.2003
Autor: ministel

Naja, du hattest schon drauf geantwortet (habs gelöscht, bevor ich deins gelesen hatte, dachte nur, es wär überflüssig gewesen). Sicherlich darfst du sie rekonstruieren, wenn du das möchtest (aber dann besser das mal mit den 2n aus). :-)

Die 2n kamen erst so zustande, dass ich irgendwie dachte, wenn ich komplexe Zahlen nehme, dass ich dann vier Nullstellen für ein quadratisches Polynom habe, aber das war Blödsinn... weiß nicht mehr, warum ich das noch im Hinterkopf hatte... ist mir dann aber auch noch eingefallen, als ich auf dem Weg zum Kino war. ;-)

Es war nur son Lösungsansatz der mir spontan einfiel, den ich nicht weiter ausführen konnte, weil ich dann schnell weg musste, von daher konnt ich mir auch nicht sicher sein, obs wirklich richtig war, und da hab ichs lieber wieder gelöscht, als hier für Verwirrung zu sorgen. ;-)

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Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:13 Do 20.11.2003
Autor: Stefan

Liebe Ministel!

Was dir im Hinterkopf (vermutlich) herumschwirrte, war der Gedanke, dass mit [mm]z[/mm] auch [mm]\bar{z}[/mm] eine Nullstelle ist. Von daher dachtest du (vermutlich), dass es eine gerade Anzahl von Nullstellen geben muss. Solange alle nichttrivialen Imaginärteil haben, stimmt das auch. Aber natürlich kann es auch reelle Nullstellen geben...

Liebe Grüße
Stefan


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Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:58 Do 20.11.2003
Autor: ministel

Ja, genau das war der Gedankengang, der mich dann hat unsicher werden lassen. Hatte auch erst nur n da stehen (danke Marc, fürs Korrigieren!), und bin dann genau deswegen auf 2n gegangen.
Naja, jetzt bin ich wieder ein bisschen schlauer. :)

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Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:40 Do 20.11.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

habe deinen ursprünglichen Beitrag wieder hergestellt, lies' ihn dir doch noch mal durch, falls ich was falsches verbessert habe ;-)

Gruß,
Marc


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