Polynomdivision < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 So 22.02.2009 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion f.
[mm] a)f(x)=x^3+x^2-x-1
[/mm]
[mm] b)f(x)=x^3-4x^2-5x
[/mm]
[mm] c)f(x)=x^3+x+2
[/mm]
[mm] d)f(x)=x^4+3x^2-4 [/mm] |
Hallo Leute,
leider war ich die letzte Zeit völlig krank und habe nix in der Schule mitbekommen und so sitze ich hier und benötige dringend Hilfe.
Aufgabe b habe ich durchs Ausklammern rausbekommen, also:
[mm] f(x)=x(x^2-4x-5) [/mm] und dann p/q-Formel
Aufgabe d habe ich durch [mm] z=x^2 [/mm] und Rücksubstitution rausbekommen.
Also stehe ich "nur" bei a und c auf den Schlauch.
Habe mir noch Polynomdivision angeschaut, aber da sehe ich kein Land. Kann mir dies jemand Schritt für Schritt (für ganz Doofe) erklären?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 So 22.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion
> f.
> [mm]a)f(x)=x^3+x^2-x-1[/mm]
> [mm]b)f(x)=x^3-4x^2-5x[/mm]
> [mm]c)f(x)=x^3+x+2[/mm]
> [mm]d)f(x)=x^4+3x^2-4[/mm]
> Hallo Leute,
>
> leider war ich die letzte Zeit völlig krank und habe nix in
> der Schule mitbekommen und so sitze ich hier und benötige
> dringend Hilfe.
> Aufgabe b habe ich durchs Ausklammern rausbekommen, also:
> [mm]f(x)=x(x^2-4x-5)[/mm] und dann p/q-Formel
> Aufgabe d habe ich durch [mm]z=x^2[/mm] und Rücksubstitution
> rausbekommen.
>
> Also stehe ich "nur" bei a und c auf den Schlauch.
> Habe mir noch Polynomdivision angeschaut, aber da sehe ich
> kein Land. Kann mir dies jemand Schritt für Schritt (für
> ganz Doofe) erklären?
ich mache Dir a) vor. Zunächst sollte man dort eine Nullstelle raten, offenbar ist [mm] $f(1)=0\,,$ [/mm] also [mm] $x_0\,=1$ [/mm] eine Nullstelle für [mm] $f\,$. [/mm] Nun dividierst Du $f(x)$ durch [mm] $(x-x_0)=(x-1)\,,$ [/mm] also
[mm] $$(x^3+x^2-x-1):(x-1)\,.$$
[/mm]
Das geht analog zu der schriftlichen Division:
1. Schritt:
[mm] $(x^3+x^2-x-1):(x-1)=x^2\;(+...)$ [/mm] (rechts [mm] $x^2$, [/mm] weil [mm] $x^3:x=x^2$ [/mm] ist)
Rückrechnen (d.h. [mm] $x^2*(x-1)$ [/mm] berechnen), drunterschreiben und abziehen (beachte: [mm] $x^2*(x-1)=x^3-x^2$):
[/mm]
[mm] $(x^3+x^2-x-1):(x-1)=x^2\;(+...)$ [/mm]
[mm] $-\underbrace{(x^3-x^2)}_{=x^2(x-1)}$
[/mm]
----------
[mm] $2x^2-x-1$ [/mm] (weil [mm] $x^3+x^2-x-1-(x^3-x^2)=2x^2-x-1$ [/mm] ist)
.
.
.
Jetzt machst Du im Prinzip das gleiche mit dem verbleibendem Term [mm] $(2x^2-x-1)$ [/mm] bei Division durch $(x-1)$...
(Wie gesagt, analog zur schriftlichen Division)
Ich schreibe Dir mal das Ergebnis auf, versuche, es nachzuvollziehen:
[mm] $\;(x^3+x^2-x-1):(x-1)=x^2+2x+1$
[/mm]
[mm] $-(x^3-x^2)$
[/mm]
---------
[mm] $\;\;\;2x^2-x-1$
[/mm]
[mm] $\;\;-(2x^2-2x)$
[/mm]
-----------
[mm] $\;\;\;x-1$
[/mm]
[mm] $\;\,-(x-1)$
[/mm]
----------------
$0$
Diese Rechnung zeigt:
[mm] $f(x)=x^3+x^2-x-1=(x^2+2x+1)*(x-1)$
[/mm]
(Wenn diese Rechnung nicht irgendwann endet, dann hast Du entweder die Nullstelle falsch 'geraten' (also diese sollte man dann kontrollieren!), oder Du hast Dich irgendwo verrechnet (typisch: Vorzeichenfehler bei der Rechnung!).)
Und damit solltest Du nun $x$ mit $f(x)=0$ finden können. (Ein Produkt ist genau dann $=0$, wenn mindestens einer der Faktoren $=0$ ist. Also:
[mm] $f(x)=x^3+x^2-x-1=0$ [/mm] gilt genau dann, wenn $x=1$ oder [mm] $x^2+2x+1=0$. [/mm] Und wann [mm] $x^2+2x+1=0$ [/mm] gilt, solltest Du schnell sehen; notfalls mit $pq$-Formel (für die Blinden ;))).
P.S.:
[mm] $\bullet$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Link: Brünner/Beispiel zur Polynomdivision
[mm] $\bullet$[/mm] Link: Brünner/eigene Aufgaben zur Polynomdivision mit Erklärungen
Gruß,
Marcel
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Hallo Silfide,
zur Polynomdivision in Aufgabe a)
d.h. Zerlegen in Faktoren der Form [mm] (x-x_0) x_0 [/mm] = Nullstelle des Funktionsterms.
[mm] x_0 [/mm] bekommst Du durch Ausprobieren mittels einer Wertetabelle. Du kannst aber auch ganzzahlige Teiler des variablenfreien Gliedes (d.h. ohne x, hier ist es die -1) des Terms suchen...
Also setze f(x)=0 und suche die NST
Falls Du die Nullstelle x=1 gefunden hast, musste Du den Term wie folgt teilen:
f(x)=0= [mm] x^3+x^2-x-1 [/mm] teile durch [mm] (x-x_0)=(x-1)
[/mm]
[mm] (x^3+x^2-x-1):(x-1)=x^2 [/mm] (jetzt mit der Klammer mal nehmen) +2x + 1
[mm] -(x^3-x^2)
[/mm]
_________
subtrahiere
0 [mm] +2x^2 [/mm] -x
[mm] -(2x^2-2x)
[/mm]
___________
subtrahiere
0 x - 1
-(x-1)
_____________
0 es bleibt also kein Rest (manchmal gibt es einen Rest, das wird dann etwas anders bearbeitet...)
Übrig geblieben ist der Term: [mm] x^2+2x+1 [/mm] Diesen kannst Du mit der pq-Formel lösen und erhälst dann die weiteren NST
Heraus kommt als doppelte NST x=-1
zum Schluss schreibst Du zur Verdeutlichung Dein Ergebnis für f(x) nochmal in Faktoren:
f(x)=(x-1)(x+1)(x+1) so kannst Du Dir nochmal die in den Klammern befindlichen Nullstellen [mm] x_0 [/mm] anschauen. Denke an die Vorzeichen ! (aus - wird plus und umgekehrt)
Du kannst die Polynomdivision auch unter www.oberprima.com anschauen, da gibt es tolle Videos für Matheaufgaben !
Viel Erfolg Schorsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Silfide,
>
> zur Polynomdivision in Aufgabe a)
>
> d.h. Zerlegen in Faktoren der Form [mm](x-x_0) x_0[/mm] = Nullstelle
> des Funktionsterms.
>
> [mm]x_0[/mm] bekommst Du durch Ausprobieren mittels einer
> Wertetabelle. Du kannst aber auch ganzzahlige Teiler des
> variablenfreien Gliedes (d.h. ohne x, hier ist es die -1)
> des Terms suchen...
>
> Also setze f(x)=0 und suche die NST
>
> Falls Du die Nullstelle x=1 gefunden hast, musste Du den
> Term wie folgt teilen:
>
> f(x)=0= [mm]x^3+x^2-x-1[/mm] teile durch [mm](x-x_0)=(x-1)[/mm]
>
> [mm](x^3+x^2-x-1):(x-1)=x^2[/mm] (jetzt mit der Klammer mal nehmen)
> +2x + 1
> [mm]-(x^3-x^2)[/mm]
> _________
> subtrahiere
> 0 [mm]+2x^2[/mm] -x
> [mm]-(2x^2-2x)[/mm]
> ___________
> subtrahiere
> 0 x - 1
> -(x-1)
> _____________
> 0 es bleibt also kein Rest (manchmal gibt es
> einen Rest, das wird dann etwas anders bearbeitet...)
>
> Übrig geblieben ist der Term: [mm]x^2+2x+1[/mm] Diesen kannst Du
> mit der pq-Formel lösen und erhälst dann die weiteren NST
>
> Heraus kommt als doppelte NST x=-1
>
> zum Schluss schreibst Du zur Verdeutlichung Dein Ergebnis
> für f(x) nochmal in Faktoren:
>
> f(x)=(x-1)(x+1)(x+1) so kannst Du Dir nochmal die in den
> Klammern befindlichen Nullstellen [mm]x_0[/mm] anschauen. Denke an
> die Vorzeichen ! (aus - wird plus und umgekehrt)
>
> Du kannst die Polynomdivision auch unter www.oberprima.com
> anschauen, da gibt es tolle Videos für Matheaufgaben !
>
> Viel Erfolg Schorsch
es wäre sinnvoller, würdest Du die vorher gegebenen Antworten durchlesen. Denn genau das Beispiel habe ich im Prinzip auch komplett erläutert. Bis auf den Link zu den Videos hättest Du Dir also reichlich unnötige Schreiberei ersparen können.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
hat sich wohl irgendwie überschnitten...
Wollte auch mal jemandem was erklären..Du warst wohl schneller...
mfg Schorsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schorch,
> Hallo Marcel,
>
> hat sich wohl irgendwie überschnitten...
>
> Wollte auch mal jemandem was erklären..Du warst wohl
> schneller...
es ging mir ja nicht darum, zu kritisieren, dass Du jemanden antworten willst. Im Gegenteil, ich finde es gut, wenn jemand sowas aus Eigeninitiative macht und das Forum lebt ja von den freiwilligen Helfern.
Nur, hättest Du meine Antwort gelesen, so hättest Du festgestellt, dass Deine Antwort fast alles aus meiner wiederholt.
(Und zwischen unseren Antworten liegt fast eine Stunde dazwischen, also denke ich mal, dass Du die Möglichkeit gehabt hast, meine Antwort zu lesen...)
Wenn Du da nochmal die Polynomdivision demonstrieren wolltest, dann wäre es daher sinnvoller gewesen, eine andere der Aufgaben dazu heranzuziehen.
Also nicht falsch verstehen: Ich will Deine Motivation nicht bremsen, sondern Dich nur bitten, ein wenig darauf zu achten, nicht manche Dinge unnötig mehrmals zu 'bearbeiten'. Das kann manchmal Sinn machen, wenn es mehrere Lösungswege zu einer Aufgabe gibt oder wenn jemand Fehler gemacht hat, die es zu korrigieren gilt. Aber ansonsten ist das eine eher uneffiziente Arbeitsweise.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mi 25.02.2009 | | Autor: | silfide |
Ich persönlich, danke euch jedenfalls beiden. Mir haben beide Antworten weitergeholfen, auch wenn ich erst ne Nacht drüber schlafen musste bevor mein Hirn den Stoff angenommen hat.
Nun ist alles chick.
Also: Danke 
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Ja, das freut mir.
Werde nächstes Mal besser aufpassen...
Schorsch
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