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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:39 Di 07.12.2004 | | Autor: | beauty |
Hallo!
Kann mir bitte jemand helfen?
Also, C=(c_ij)ij Ist Element M(n*n,K) eine Diagonalmatrix. Es gilt [mm] {c_11,c_22,...,c_nn}={d_1,...,d_m}
[/mm]
Das Minimalpolynom von A ist das Polynom :
[mm] \produkt_{i=1}^{m} (X-d_i)
[/mm]
Kann mir bitte jemand weiterhelfen!
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Hallo beauty!
> Hallo!
> Kann mir bitte jemand helfen?
> Also, C=(c_ij)ij Ist Element M(n*n,K) eine Diagonalmatrix.
> Es gilt [mm]{c_11,c_22,...,c_nn}={d_1,...,d_m}
[/mm]
> Das Minimalpolynom von A ist das Polynom :
> [mm]\produkt_{i=1}^{m} (X-d_i)
[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand weiterhelfen!
Was sollst du denn machen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:11 Di 07.12.2004 | | Autor: | beauty |
Man soll das charakteristische Polynom bestimmen und überlegen, warum das gleichzeitig auch das Minimalpolynom ist. Wie mache ich das ?
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> Man soll das charakteristische Polynom bestimmen und
> überlegen, warum das gleichzeitig auch das Minimalpolynom
> ist. Wie mache ich das ?
Okay, also hallo dann erstmal!
Das charakteristische Polynom berechnet sich meines Wissens so:
[mm] CP_A=det(A-\lambda*I)
[/mm]
wenn A die Matrix, [mm] \lambda [/mm] die Eigenwerte und I die Einheitsmatrix sind.
Bei deiner Matrix nehme ich mal an, dass sie so aussieht: (das war in deiner Frage nicht so ganz leserlich...)
[mm] C=\pmat{c_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots} [/mm] also usw. (so schön sieht das bei mir auch nicht aus... weiß nicht, wie ich da auch Pünktchen auf die Diagonale bekomme...)
Jedenfalls erhältst du dann als charakteristisches Polynom genau die Determinante von dieser Matrix, wenn du vorher noch von jedem Eintrag [mm] c_{ii} \lambda [/mm] abziehst. Und die Determinante einer Diagonalmatrix (die du ja offensichtlich gegeben hast) ist genau das Produkt der Diagonalelemente, somit erhältst du genau das, was du als Minimalpolynom angegeben hast.
(Wie dieses definiert ist, weiß ich allerdings nicht mehr, demnach kann ich dir an dieser Stelle nicht mehr weiterhelfen. Aber wenn du nur zeigen sollst, dass das charakteristische Polynom genau das ist, was du als Minimalpolynom gegeben hast, dürfte es das doch schon gewesen sein, oder?)
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 07.12.2004 | | Autor: | beauty |
Hey!
Danke erstmal für deine Hilfe! Aber irgentwie verstehe ich das immer noch nicht, was ich jetzt machen soll. Kannst du mir mal die Schritte erklären, die ich machen muss?
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Hallo!
Mmh, also ehrlich gesagt, weiß ich nicht, was du hier dran nicht verstehst. Ich habe dir doch das charakteristische Polynom schon vorgerechnet. Die Definition habe ich dir geschrieben, und wenn du statt der allgemeinen Matrix A deine Matrix C einsetzt und dann die Determinante berechnest (genau so, wie das in der Definition steht), dann erhältst du genau das, was ich dir eben schon geschrieben habe.
Aber was du mit dem Minimalpolynom machen sollst, weiß ich nicht, da ich die Definition nicht weiß. Vielleicht schickst du die auf jeden Fall mal, aber ich weiß wirklich nicht, was du noch nicht verstehst.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 07.12.2004 | | Autor: | beauty |
Hey!
Tut mir Leid hatte gerad nen Brett vorm Kopf. Habe es nun auch verstanden. Aber jetzt habe ich die Aufgabe ja mit den Satz von Cayley Hamilton gezeigt. Wie kann ich denn jetzt ohne Verwendung des Satzes von Cayley Hamilton die Aufgabe beweisen. Hast du da vielleicht eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Di 07.12.2004 | | Autor: | frabi |
> Hey!
> Tut mir Leid hatte gerad nen Brett vorm Kopf. Habe es nun
> auch verstanden. Aber jetzt habe ich die Aufgabe ja mit den
> Satz von Cayley Hamilton gezeigt. Wie kann ich denn jetzt
> ohne Verwendung des Satzes von Cayley Hamilton die Aufgabe
> beweisen. Hast du da vielleicht eine Idee?
>
Also, wenn ich richtig liege, sollst Du ja folgende Aussage beweisen:
wenn $C = [mm] (c_{ij})$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist, dann ist das Charachteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom. Richtig?
Soweit ich mich errinere ist das MinimalPolynom [mm] $m_A(x)$ [/mm] einer Matrix $A$ das Polynom kleinsten Grades, das $A$ annuliert, also [mm] $m_A(A) [/mm] = 0$
Das Characteristische Polynom ist auch ein annulierendes Polynom, allerdings hat das glaube ich immer Grad $n$.
Weiter gibt es glaube ich einen Satz, der besagt, dass das characteristische Polynom das Minimalpolynom als Faktor enthält. Das zusammengenommen wäre ja schon der Beweis der Aussage, allerdings nur, falls die [mm] $c_{ij}$ [/mm] (also die Eigenwerte) paarweise verschieden sind, oder?
Fehlt diese Info vielleicht in der Angabe?
viele Grüße
frabi
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