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Pascalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Mo 08.12.2003
Autor: ministel

Ich hab irgendwie immer Probleme mit den Aufgabenstellungen, weiß also nie so richtig, wie ich das umsetzen muss.

Hier die Aufgabe:
Zeigen Sie: Wenn [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] unabhängig und Pascal-verteilt sind mit Parametern [mm]r_1, p[/mm] und [mm]r_2, p[/mm] (wobei [mm]r_1 , r_2 \in \IN [/mm]\[mm] \{0\}, p \in (0,1)[/mm]), dann ist [mm]X_1 + X_2[/mm] Pascal-verteilt mit den Parametern [mm]r_1 + r_2 , p[/mm].

Ich kriegs einfach nicht hin, das aufzuschreiben, was ich genau berechnen muss. Also P(A|B), und dann A und B genau bestimmen... könnt ihr mir da kurz bei helfen? Wenn ich erst habe, was ich ausrechnen muss, müsste ich es denke ich hinbekommen...



Nachricht bearbeitet (Mo 08.12.03 13:33)

        
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Pascalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Mo 08.12.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

was ist die Pascalverteilung? Ich kenne sie nicht. Gib mal bitte die Definition an. Dann löse ich dir die Aufgabe.

Liebe Grüße
Stefan


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Pascalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mo 08.12.2003
Autor: ministel

[mm]P[X = n] = {{n-1} \choose {r-1}}p^rq^{n-r}[/mm]

Danke schön! :-)



Nachricht bearbeitet (Mo 08.12.03 15:30)

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Pascalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mo 08.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Ministel,

grundsätzlich hat Marc recht. Man kann die Verteilung einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen mit der Faltung berechnen. Allerdings ist das hier etwas kompliziert, da man dann die Gleichung

[mm]\sum_{i=0}^n {i-1 \choose r_1-1} {n-i-1 \choose r_2-1} = {n-1 \choose r_1 + r_2 - 1}[/mm]

beweisen müsste (was zwar trivial, aber unnötig aufwändig ist).

Ich habe mir euren Zettel mal angeschaut. Leider hast du uns ja nicht alle Infos gegeben. Ihr sollt die Verteilung über die erzeugende Funktion bestimmen.

Was musst du also tun? Die erzeugende Funktion einer Pascal-Verteilung (ich kenne das unter dem Namen Negative Binomialverteilung) berechnen und dann ausnutzen, dass 1) die erzeugende Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der erzeugenden Funktionen ist  und dass 2) die Verteilung durch die erzeugende Funktion eindeutig bestimmt ist.

Mit dem Hinweis auf dem Aufgabenzettel sollte nun die Lösung kein Problem mehr darstellen. Falls doch, dann melde dich nochmal.

In Zukunft bitte alle Infos mitteilen, Danke!

Alles Gute
Stefan


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Pascalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Mo 08.12.2003
Autor: ministel

Hm, so hab ich es Samstag schonmal versucht zu lösen, und bin da dann nicht weitergekommen, weil ich das nicht so umformen konnte, dass ich den Hinweis hätte benutzen können. Wie muss ich das denn angehen?

Als Funktion hab ich doch dann:
[mm]G(s)=\sum_{k=0}^{\infty}{{k-1} \choose {r_1-1}}{{k-1} \choose {r_2-1}}p^{r_1 + r_2}q^{2n-(r_1 + r_2)}s^{2k}[/mm]
oder?

Ich komm von da aus aber einfach nicht weiter, von daher dachte ich, dass es vielleicht doch nicht über die erzeugende Funktion, sondern einfach nur über die Verteilung zu lösen ist...

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Pascalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Di 09.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Ministel,

nein, das ist nicht die richtige Formel. Wie kommst du darauf?

Also, wir gehen jetzt genauso vor, wie ich das geschrieben hatte. Erst einmal rechnen wir die erzeugende Funktion aus.

Ist [mm]X[/mm] Pascal-verteilt mit Parametern [mm]p[/mm] und [mm]r[/mm], so gilt für die erzeugende Funktion (für alle [mm]s[/mm] mit [mm]qs<1[/mm]:

[mm]\varphi_X(s) = \sum_{n=0}^{\infty} {{n-1} \choose {r-1}}p^r\, q^{n-r}\, s^n[/mm]

[mm] = \sum_{n=r}^{\infty} {{n-1} \choose {r-1}}p^r\, q^{n-r}\, s^n [/mm]

[mm] = \sum_{n=0}^{\infty} {{n+r-1} \choose {r-1}}p^r\, q^{n}\, s^{n+r}[/mm]

[mm] = (ps)^r \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {{n+r-1} \choose {r-1}}\, (qs)^{n}[/mm]

[mm] = (ps)^r \cdot \left( \frac{1}{1-qs} \right)^r [/mm]

[mm] = \left( \frac{ps}{1-qs} \right)^r[/mm].

So, wie geht es denn nun weiter? ;-)

Liebe Grüße
Stefan


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Pascalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Di 09.12.2003
Autor: Brigitte

Hallo ministel, hallo Stefan!

Was mich an der Lösung noch verwirrt, ist die Definition der charakteristischen Funktion. Ich habe mich aus Spaß auch mal an der Lösung versucht und dabei mit E(e^(itX)) statt [mm] E(t^X) [/mm] angefangen. Ist das zweite nicht die erzeugende Funktion? Oder gibt es da abweichende Definitionen?

Viele Grüße
Brigitte

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Pascalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Di 09.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Brigitte,

vielen Dank für den Hinweis. Stimmt, ich habe mich verschrieben und werde es jetzt gleich verbessern.

Danke für's Nachschauen ;-)
Stefan



So, jetzt habe ich es verbessert. War einfach der falsche Name für das (richtige) Objekt, sorry!

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Pascalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Di 09.12.2003
Autor: ministel

Ohje, achso sollte das funktionieren... hmpf.

Naja, viel weiter gehts dann ja jetzt nicht mehr, die erzeugende Funktion zu [mm]X_1 + X_2[/mm] ist gleich dem Produkt der erzeugenden Funktionen der beiden Summanden, also [mm](\frac{ps}{1-qs})^{r_1 + r_2}[/mm] und da die Abbildung [mm]P -> G_P[/mm] injektiv ist, müsste ja direkt folgen, dass somit auch [mm]X_1 + X_2[/mm] Pascal-verteilt ist, eben mit den entsprechendem Parameter, oder?

Aber mal ne andere Frage: Mein Tutor meinte vorhin, der Hinweis wäre total überflüssig, man könne das auch ganz einfach anders lösen. Wisst ihr, was er da gemeint hat? Denn sooo kompliziert war das ja jetzt nicht (wenn man denn drauf kommt, den Laufindex zu verändern, zumindest ;-)).

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Pascalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Di 09.12.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

ministel schrieb:

> Naja, viel weiter gehts dann ja jetzt nicht mehr, die
> erzeugende Funktion zu [mm]X_1 + X_2[/mm] ist gleich dem
> Produkt der erzeugenden Funktionen der beiden Summanden, also
> [mm](\frac{ps}{1-qs})^{r_1 + r_2}[/mm] und da die Abbildung
> [mm]P -> G_P[/mm] injektiv ist, müsste ja direkt folgen, dass
> somit auch [mm]X_1 + X_2[/mm] Pascal-verteilt ist, eben mit den
> entsprechendem Parameter, oder?

Richtig! :-)

> Aber mal ne andere Frage: Mein Tutor meinte vorhin, der Hinweis
> wäre total überflüssig, man könne das auch ganz einfach anders
> lösen. Wisst ihr, was er da gemeint hat?

Ja, indem du so vorgehst, wie Marc meinte. Mit Hilfe der Faltung. Schau dir Marc's Antwort noch mal an.

> Denn sooo kompliziert
> war das ja jetzt nicht (wenn man denn drauf kommt, den
> Laufindex zu verändern, zumindest ;-)).

Naja, ohne den Hinweis wäre es schwierig gewesen. Dann hätte man die Reihe erst einmal als Taylor-Reihe um 0 der Funktion [mm]\left(\frac{1}{1-qs}\right)^r[/mm] erkennen müssen...

Alles Gute
Stefan


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Pascalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mo 08.12.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

wenn du die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariable berechnen sollst, handelt es sich um eine so genannte Faltung. Die Verteilung der Summe berechnet sich nach der Formel (im Falle diskreter Zufallsvariable):

[mm] P(X_1+X_2=n) = \sum\limits_i P(X_1=i)P(X_2=n-i) [/mm]

Für [mm] P(X_1=i) [/mm] und [mm] P(X_2=n-i) [/mm] setzt du nun deine Pascal-Verteilungsformel ein und formst die ganze Summe so um, dass du deine Pascal-Verteilungsformel mit den gewünschten Parametern erhälst.

Ich habe es noch nicht selbst ausprobiert, aber so wird es gehen. Falls nicht, melde dich bitte wieder.

Viel Erfolg,
Marc


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