Orthonormalbasis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Do 12.08.2004 | | Autor: | kaffee |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo zusammen,
langsam bin ich der verzweiflung nahe, denn ich probiere schon mehrere stunden an der gleichen aufgabe herum, und nun bleibt mir ein schritt unklar (trotz musterlösung):
Für matrix A SO(3) gelten A(2, 2, 1) = (2, 2, 1) und A(2,8,7)= (4,10,-1)
Bestimme A.
Nach orthogonalprojektion erhalte ich eine Normalbasis:
(2/3, 2/3, 1/3); (-2/3, 1/3, 2/3); (1/3, -2/3, 2/3)
bezüglich welcher A anscheinend die Form hat:
(1,0,0;
0,0,1;
0,-1,0)
Da liegt mein Problem: wie erhalte ich diese Matrix? Am liebsten im Allgemeinen und in diesem Spezialfall
Danach ist wieder alles klar, ich Transformiere obere Matrix zu einer Matrix bezgl. Standardbasis. und fertig.
Danke & grüsse, sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Do 12.08.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo kaffee!
Den ersten Vektor der Orthonormalbasis erhält man ja einfach durch Normierung. Die erste Spalte der darstellenden Matrix ist auch klar.
Wie geht es nun weiter?
Man berechnet den zweiten Vektor der Orthonormalbasis mittels
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} - \langle \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \rangle \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}}{\left\Vert \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} - \langle \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \rangle \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \right\Vert} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}.$
[/mm]
Das dritte Element der Orthonormalbasis kann man zum Beispiel mit dem Kreuzprodukt bestimmen:
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Daraus folgt, wenn man die Linearität von $A$ ausnutzt:
[mm] $A(a_2)$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{6} \left[ A\left( \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} \right) - 9 A \left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \right) \right]$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{6} \cdot \left[ \begin{pmatrix}4 \\ 10 \\ - 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \right]$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{pmatrix} [/mm] $.
$= [mm] -a_3$. [/mm]
Nun sind die beiden ersten Spalten von $A$ bezüglich der neuen Orthonormalbasis klar. Daraus ergibt sich aber auch direkt die dritte Spalte, da die Spalten ein positiv orientiertes Orthonormalsystem bilden müssen (da $A [mm] \in SO_3$ [/mm] gilt).
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:45 Fr 13.08.2004 | | Autor: | kaffee |
hallo Julius
Danke für die Antwort, die Orthonormalbasis habe ich auch schon selber berechnet, jedoch mit Gram-Schmidt (das hat doch hoffentlich nicht nur durch zufall das richtige resultat geliefert...?)
Das eigentliche Problem liegt jedoch hier: Wieso ist die Matrix bezüglich der ON-Basis die folgende?
(1, 0, 0;
0, 0, 1;
0, -1, 0)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> hallo Julius
> Danke für die Antwort, die Orthonormalbasis habe ich auch
> schon selber berechnet, jedoch mit Gram-Schmidt (das hat
> doch hoffentlich nicht nur durch zufall das richtige
> resultat geliefert...?)
Nein, natürlich nicht. Ich habe es mir nur etwas einfacher gemacht mit dem Kreuzprodukt. 
> Das eigentliche Problem liegt jedoch hier: Wieso ist die
> Matrix bezüglich der ON-Basis die folgende?
>
> (1, 0, 0;
> 0, 0, 1;
> 0, -1, 0)
Hast du denn meine Antwort nicht genau verstanden? Denn genau das habe ich ja beschrieben.
Es sei [mm] $(a_1,a_2,a_3)$ [/mm] die ON-Basis.
Nach Voraussetzung gilt ja [mm] $A(a_1)=a_1$, [/mm] daher folgt die erste Spalte. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Denn: [mm] $A(a_1) [/mm] = 1 [mm] \cdot a_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot a_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot a_3$, [/mm] also lautet die erste Spalte:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Dann habe ich in meinem letzten Beitrag [mm] $A(a_2)=-a_3$ [/mm] ausrechnet, woraus die zweite Spalte folgt:
[mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Denn: [mm] $A(a_2) [/mm] = 0 [mm] \cdot a_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot a_2 [/mm] + (-1) [mm] \cdot a_3$.
[/mm]
Die dritte Spalte muss nun wegen $A [mm] \in [/mm] SO(3)$ erstens senkrecht auf den beiden anderen stehen, zweitens den Betrag $1$ haben (daher kommen nur [mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] in Frage) und drittens muss die Determinante der Matrix gleich $1$ sein (woraus dann folgt, dass nur [mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] richtig sein kann).
Man hätte auch einfach nachrechnen können, dass
[mm] $A(a_3) [/mm] = [mm] a_2$
[/mm]
gilt.
Ist jetzt alles klar?
Oder ist dir der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen generell nicht klar? Wenn nein, dann sage es bitte, denn ich habe dazu schon einmal einen ausführlichen Beitrag geschrieben, auf den ich dich dann verweisen könnte.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 14.08.2004 | | Autor: | kaffee |
Hallo Julius
Danke, ich glaube jetzt ist die Sache auch langsam durch mein Gehirn durchgesickert...
Aber du hast recht, in der Lin Alg fällt mir tatsächlich der Zusammenhang Matrizen - Lineare Abbildungen am schwersten. Deshalb wäre ich sehr froh, deinen früheren Artikel mal lesen zu dürfen!
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kaffee,
> Aber du hast recht, in der Lin Alg fällt mir tatsächlich
> der Zusammenhang Matrizen - Lineare Abbildungen am
> schwersten. Deshalb wäre ich sehr froh, deinen früheren
> Artikel mal lesen zu dürfen!
Ich denke, julius meint diesen Artikel.
Auf den Zusammenhang wird ab dem 2. Viertel des Artikels eingegangen.
Viele Grüße,
Marc
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