Ordnung von Elementen end. Kör < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 10.11.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | a) Gegeben sei ein Körper mit 25 Elementen. Wie viele Elemente besitzen Ordnung 1?
b) Gegeben sei ein Körper mit 49 Elementen. Wie viele Elemente besitzen Ordnung 2? |
Hallo,
ich habe leider keine Idee. Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor?
Dankeschön!
LG kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> a) Gegeben sei ein Körper mit 25 Elementen. Wie viele
> Elemente besitzen Ordnung 1?
>
> b) Gegeben sei ein Körper mit 49 Elementen. Wie viele
> Elemente besitzen Ordnung 2?
> Hallo,
> ich habe leider keine Idee.
Ein paar Zweifel an dieser Aussage habe ich ja schon. Zumindestens könntest du dich schlau gemacht haben, was ein Körper ist, was die Ordnung eines Elements ist etc.
Wie habt ihr denn die Ordnung von Körperelementen definiert? Meiner Meinung nach macht dies gar keinen Sinn, denn Sinn macht für mich nur die Ordnung eines Gruppenelements. In einem Körper stecken aber zwei Gruppen, nämlich $(K,+)$ und [mm] $(K\setminus\{0\},\cdot)$. [/mm] Was soll dann die Ordnung eines Körperelements sein?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 10.11.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hi
okay, du hast Recht, so macht die Aussage keinen Sinn.
Also bei der ersten soll es bzgl. der Gruppe (K,+) und beim Körper mit 49 Elementen bzgl. [mm] K^{*} [/mm] angegeben werden...
Naja... mir ist schon klar, was ein Körper ist. Die Ordnung haben wir als kleine natürliche Zahl n definiert, sodass [mm] g^{n}=e, [/mm] wobei g ein Gruppenelement und e das neutrale Element ist... Trotzdem fehlt mir irgendwie die Idee...
Ich danke dir!
LG kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo kiri,
> okay, du hast Recht, so macht die Aussage keinen Sinn.
kannst du dir denn nicht mal etwas mehr Mühe beim Abschreiben der Aufgabe geben? Bisher waren fast alle Aufgabenstellungen fehlerhaft mit denen ich beschäftigt hatte.
> Also bei der ersten soll es bzgl. der Gruppe (K,+) und beim
> Körper mit 49 Elementen bzgl. [mm]K^{*}[/mm] angegeben werden...
Könntest du denn die Aufgabenstellung nochmal genau wiedergeben?
Hier spielt es schon eine Rolle, ob $K$ 49 Elemente hat oder [mm] $(K,\cdot)$.
[/mm]
> Naja... mir ist schon klar, was ein Körper ist. Die Ordnung
> haben wir als kleine natürliche Zahl n definiert, sodass
> [mm]g^{n}=e,[/mm] wobei g ein Gruppenelement und e das neutrale
> Element ist... Trotzdem fehlt mir irgendwie die Idee...
Sehr gut. Schreib' doch mal die Gleichung auf, die ein Element erfüllen muss, wenn es Ordnung 1 hat. Um welches Element handelt es sich? Wie viele gibt es davon in einer Gruppe?
Die zweite Frage wäre schnell erledigt, wenn gemeint ist, dass [mm] $(K,\cdot)$ [/mm] 49 Elemente hat, siehe nämlich Satz von Lagrange.
Falls K 49 Elemente besitzt, dann hat [mm] $(K,\cdot)$ [/mm] 48 Elemente. In diesem Fall habe ich im Moment keine Idee, wie man auf die Anzahl der Elemente der Ordnung 2 kommen könnte. Vielleicht muss man die Gruppen der Ordnung 48 erst klassifizieren? Da ich mir aber wegen der Korrektheit der Aufgabenstellung unsicher bin, reizt mich weiteres Nachdenken darüber im Augenblick nicht.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:45 Mi 12.11.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo Marc,
entschuldige...
Also es ist wirklich gemacht, dass der Körper 49 Elemente besitzt... Hat sonst jemand noch eine Idee?
LG kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Do 13.11.2008 | | Autor: | otto.euler |
Jeder endliche Körper lässt sich meines Wissens als [mm] \IZ_{p^{m}} [/mm] realisieren. Im vorliegenden Fall: [mm] 5^{2} [/mm] und [mm] 7^{2}.
[/mm]
Bei den additiven Gruppen gibt es trivialerweise nur ein Element der Ordnung zwei, nämlich [mm] \bruch{1+p^{m}}{2} [/mm] für alle ungeraden Primzahlen p. Hier: 13 und 25.
Bei den multiplikativen Gruppen ist trivialerweise -1 stets ein Element der Ordnung 2. Durch Nachrechnen wirst du feststellen, dass es bei deinen Gruppen das einzige solche Element ist. Also hier: 24 und 48.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Do 13.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Jeder endliche Körper lässt sich meines Wissens als
> [mm]\IZ_{p^{m}}[/mm] realisieren. Im vorliegenden Fall: [mm]5^{2}[/mm] und
> [mm]7^{2}.[/mm]
Sorry, aber das ist falsch. [mm] $\IZ_m$ [/mm] ist genau dann ein Koerper, wenn $m$ prim ist: somit ist [mm] $\IZ_{p^m}$ [/mm] nur dann ein Koerper, wenn $p$ prim und $m = 1$ ist.
Die Koerper mit [mm] $5^2$ [/mm] und [mm] $7^2$ [/mm] Elementen realisiert man als Koerpererweiterung von Grad 2 von [mm] $\IZ_5$ [/mm] bzw. [mm] $\IZ_7$, [/mm] also indem man ein irreduzibles Polynom von Grad 2 nimmt und den Polynomring modulo dem davon erzeugten Ideal nimmt.
So, zu der Aufgabe.
Ihr hattet sicher, dass die multiplikative Gruppe eines endlichen Koerpers zyklisch ist. Du musst dir also ueberlegen, wieviele Elemente der Ordnung $m$ es in einer zyklischen Gruppe der Ordnung $n$ gibt (fuer passendes $m$ und $n$).
Bei der additiven Gruppe hast du immer [mm] $(\IZ_p)^m$ [/mm] als Gruppenstruktur (also ein $m$-dimensionaler [mm] $\IZ_p$-Vektorraum). [/mm] Da wird es dann etwas schwieriger.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 14.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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