Operatornorm < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Kann mir vielleicht bitte mal jemand ein Beispiel für eine Operatornorm einer ganz simplen Matrix geben? Zum Beispiel zu dieser hier:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 2 & 3 } [/mm] mit der 1-Norm. Ich verstehe nämlich bei dieser Definition mit dem Supremum nicht, wie das Supremum von einem Bruch lauten soll - bisher bin ich soweit gekommen:
[mm] \sup\bruch{Ax}{x}=\sup\bruch{2x_1+4x_2}{x_1+x_2}
[/mm]
und was wäre das dann???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Bastiane!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Eigentlich müsstest du ja
[mm] $\Vert A\Vert_{1,1} [/mm] := [mm] \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\Vert Ax\Vert_1}{\Vert x \Vert_1} [/mm] = [mm] \sup\limits_{(x_1,x_2) \ne (0,0)} \frac{|x_2| + |2x_1 + 3x_2|}{|x_1| + |x_2|}$
[/mm]
berechnen. Das gestaltet sich nicht gerade einfach, aber man könnte doch darauf kommen, dass das Supremum für [mm] $(x_1,x_2)=(0,1)$ [/mm] angenommen wird und dass daher
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,1} [/mm] = [mm] \frac{1 + 3}{1} [/mm] = 4$
gilt.
Zum Glück braucht man das aber gar nicht zu berechnen. Man weiß ja, dass die natürliche Matrixnorm der $1$-Norm gerade die Spaltenbetragssummennorm ist, dass also für eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $A$ gerade gilt:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,1} [/mm] = [mm] \max\limits_{1 \le j \le n} \sum\limits_{i=1}^n \vert a_{ij} \vert$.
[/mm]
In diesem Fall ist also:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{1,1} [/mm] = [mm] \max(0+2,1+3) [/mm] = 4$.
Alles klar? 
Lieeb Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo julius!
Erstmal herzlichen Dank für deine superschnelle Antwort - hatte schon fast ne Woche über diese dumme Aufgabe nachgegrübelt und muss sie morgen abgeben.
Jetzt habe ich aber nochmal ne Frage:
Sind Operatornorm und Matrixnorm dasselbe? Irgendwie hatte ich das mal gedacht, aber dann wurde das in der Vorlesung doch gar nicht so definiert und jetzt bin ich ganz verwirrt...
Dann habe ich noch in einem Buch gefunden, dass zur 1-Norm die zugehörige Matrixnorm die Spaltensummennorm ist (übrigens fehlt da in deiner Erklärung wohl das Summenzeichen), zur Maximumnorm die Zeilensummennorm, aber zur Euklidischen Norm gibt es die Frobenius und die Spektralnorm. Ich habe mal die Frobenius-Norm genommen, ich hoffe, das war richtig...
Viele Grüße und nochmal danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Bastiane!
> Sind Operatornorm und Matrixnorm dasselbe?
Operatornorm ist der bessere Begriff. Eine Matrixnorm ist eine (beliebige) Norm für Matrizen. Operatornormen werden auch als natürliche Matrixnormen bezeichnet.
> Irgendwie hatte
> ich das mal gedacht, aber dann wurde das in der Vorlesung
> doch gar nicht so definiert und jetzt bin ich ganz
> verwirrt...
> Dann habe ich noch in einem Buch gefunden, dass zur 1-Norm
> die zugehörige Matrixnorm die Spaltensummennorm ist
> (übrigens fehlt da in deiner Erklärung wohl das
> Summenzeichen),
Danke, war ein Tippfehler, den ich verbessert habe.
> zur Maximumnorm die Zeilensummennorm, aber
> zur Euklidischen Norm gibt es die Frobenius und die
> Spektralnorm.
Aber nur die Spektralnorm ist die (natürliche) Matrixnorm, also die Operatornorm. Die Frobenius-Norm ist nur verträglich mit der $2$-Norm und keine Operatornorm.
> Ich habe mal die Frobenius-Norm genommen, ich
> hoffe, das war richtig...
Wieso hast du sie überhaupt genommen? Ich dachte bei der Aufgabe geht es um die $1$-Norm, hattest du doch geschrieben? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Danke nochmal für die Antwort!
Die Frobenius-Norm habe ich genommen, weil die Aufgabe aus drei Matrizen bestand, bei der ersten sollte man die 1-Norm nehmen, bei der zweiten die 2-Norm und bei der dritten die [mm] \infty-Norm. [/mm] Und da ich erstens zu faul war, das alles als Frage hier einzugeben und zweitens dachte, wenn ich das Prinzip verstanden habe, kann ich den Rest auch alleine lösen, habe ich eben nur eine Matrix hier als Frage hingestellt.
Dies nur zur Info...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Bastiane!
Du darfst aber, wie gesagt, bei der $2$-Norm als Operatornorm nicht die Frobenius-Norm nehmen, sondern musst die Spektralnorm nehmen.
Die Frobenius-Norm ist keine Operatornorm bezüglich der $2$-Norm, sondern nur mit der $2$-Norm verträglich.
Liebe Grüße
Julius
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