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| Aufgabe | Der Vektorraum [mm] \IR^{n \times n} [/mm] sei mit der von der Norm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] : [mm] \IR^{n \times n} [/mm] --> [mm] \IR,
[/mm]
[mm] \parallel (a_{ij})_{i,j}\parallel_{2} [/mm] := [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n} a_{ij}^2}
[/mm]
induzierten Metrik ausgestattet. Zeige, dass die Menge [mm] GL(n,\IR) \subset \IR^{n \times n} [/mm] der invertierbaren Matrizen offen ist. |
Ich weiß gar nicht wie ich mit dieser Aufgabe beginnen soll.
Kann mir jemand weiter helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo looney_tune,
> Der Vektorraum [mm]\IR^{n \times n}[/mm] sei mit der von der Norm
> [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel_{2}[/mm] : [mm]\IR^{n \times n}[/mm] --> [mm]\IR,[/mm]
> [mm]\parallel (a_{ij})_{i,j}\parallel_{2}[/mm] :=
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n} a_{ij}^2}[/mm]
>
> induzierten Metrik ausgestattet. Zeige, dass die Menge
> [mm]GL(n,\IR) \subset \IR^{n \times n}[/mm] der invertierbaren
> Matrizen offen ist.
> Ich weiß gar nicht wie ich mit dieser Aufgabe beginnen
> soll.
> Kann mir jemand weiter helfen?
Beachte, daß die Determinantenfunktion [mm] $\det\colon \IR^{n\times n} \to \IR$ [/mm] stetig ist!
Gruß,
Wolfgang
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was bringt es mir denn, wenn die determinantenfunktion stetig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> was bringt es mir denn, wenn die determinantenfunktion
> stetig ist?
$A$ ist invertierbar genau dann, wenn [mm] $\det [/mm] A [mm] \ne [/mm] 0$. Das heißt, die Menge der invertierbaren Matrizen ist als Urbild der offenen Menge [mm] $\IR\setminus \{0\}$ [/mm] unter der stetigen Abbildung [mm] $\det$ [/mm] offen.
Gruß,
Wolfgang
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