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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Do 19.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Die erste Ableitung [mm] \bruch{\partial}{\partial{x}} [/mm] kann wie folgt diskretisiert werden:
[mm] (D^+u)(x)=\bruch{1}{h}[u(x+h)-u(x)] \; [/mm] Vorwärtsdifferenz
[mm] (D^-u)(x)=\bruch{1}{h}[u(x)-u(x-h)] \; [/mm] Rückwärtsdifferenz
[mm] (D^0u)(x)=\bruch{1}{2h}[u(x+h)-u(x-h)] \; [/mm] Symmetrische Differenz
a) Zeigen Sie: $D^+D^-$ ist eine Diskretisierung für die zweite Ableitung [mm] \bruch{\partial^2}{\partial{x^2}}.
[/mm]
b) Zeigen Sie: $D^-D^+=D^+D^-$.
c) Sind [mm] $D^+D^0, D^-D^0, [/mm] D^0D^+$ und $D^0D^-$ Diskretisierungen für die zweite Ableitung [mm] \bruch{\partial^2}{\partial{x^2}}? [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich dachte eigentlich, diese Aufgabe bekomme ich alleine hin, aber anscheinend mache ich irgendetwas falsch.
zu a):
[mm] D^{+}D^{-} [/mm] ist doch quasi [mm] (D^{+}(D^{-}u)(x))(x) [/mm] oder ist das schon verkehrt? Wenn ich dann nach der obigen Definition weiterrechne, erhalte ich am Ende: [mm] \bruch{1}{h^2}(u(x+h)+u(x-h)-2u(x)).
[/mm]
Wenn ich nun die zweite Ableitung berechne, erhalte ich:
[mm] \bruch{\partial^2}{\partial{x^2}}=\bruch{\partial}{\partial{x}}(\bruch{\partial}{\partial{x}}u(x)) [/mm] = ... = [mm] \lim_{h\to0}\bruch{1}{h^2}(u(x+2h)-u(x+h)-2u(x))
[/mm]
Was genau bedeutet nun "Diskretisierung"? Aus der Vorlesung habe ich es so verstanden, dass bei der Ableitung quasi einfach den Grenzwert weglässt, sodass man keine stetige Funktion mehr erhält, sondern nur noch einzelne Funktionswerte für die jeweilige h's. Demnach müsste aber hier beide Male dasselbe rauskommen, oder? Habe ich mich dann irgendwo verrechnet? Oder gibt es noch ein anderes "Kriterium" für "Diskretisierung"? Das wäre ja vielleicht auch für Teil c) wichtig.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Do 19.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Bastiane,
bei der zweiten Abl. sollte man doch zunaechst mal sowas schreiben wie
[mm] \lim_{h_2\to 0} \lim_{h_1\to 0} [/mm] .......
oder ?
Alles andere ggf. morgen ....
Mir faellt noch was ein:
Bei der Abl. kannst Du doch
[mm] \lim \frac{u(x+h)-u(x)}{h} [/mm] schreiben, aber doch auch
[mm] \lim \frac{u(x)-u(x-h)}{h}
[/mm]
(wenn's diffbar ist und x nicht am Rand des DefBereiches).
Kann man nicht fuer die erste Abl. das eine und dann darauf fuer die 2. Abl. das andere
anwenden, so dass ein besserer Term rauskommt ?
Gruss,
Mathias
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Hallo Bastiane,
Zum Unterschied dieser beiden Differenzensterne.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Fehlerbetrachtung
Im Prinzip steht's aber in deinem Artikel ähnlich ein Fehler der sich wie h verhält ist eben deutlich schlechter als ein Fehler der sich wie [mm] h^2 [/mm] verhält.
Weil für kleine h: [mm] h^2 [/mm] << h
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Bastiane,
ist es richtig, dass die (b) noch unklar ist ?
Probare:
D^-D^+ u(x) = D^- [mm] (x\mapsto \frac{1}{h}\cdot [/mm] (u(x+h)-u(x)))
= [mm] \frac{1}{h^2}\cdot [/mm] (u(x+h)-u(x) - (u(x) - u(x-h))
= [mm] \frac{1}{h^2}\cdot [/mm] (u(x+h)- 2u(x) + u(x-h))
D^+D^- u(x) = D^+ [mm] (x\mapsto \frac{1}{h}\cdot [/mm] (u(x)-u(x-h)))
= [mm] \frac{1}{h^2}\cdot [/mm] (u(x+h)-u(x) - (u(x)-u(x-h)))
= [mm] \frac{1}{h^2}\cdot [/mm] (u(x+h)-2u(x)+u(x-h))
also das stimmt.
Wenns das nicht war/ noch nicht reicht: Morgen frueh mehr ..... 
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Do 19.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Mathias!
> ist es richtig, dass die (b) noch unklar ist ?
Naja, ich hatte keine Frage dazu gestellt, weil ich dachte, wenn der Anfang meiner a) richtig ist, dann krieg ich die b) auch hin. Und als ich dann ja den Artikel gefunden hatte, wo das gleiche stand wie bei mir, habe ich die b) dann auch gemacht. Aber jetzt konnte ich wenigstens vergleichen, ob es richtig ist. 
> Probare:
>
> D^-D^+ u(x) = D^- [mm](x\mapsto \frac{1}{h}\cdot[/mm]
> (u(x+h)-u(x)))
Du weißt nicht, warum der das D^+ hier nicht annimmt? Als ich die Aufgabenstellung oben eingetippt hatte, da ging das einfach so ohne Klammern...
> Wenns das nicht war/ noch nicht reicht: Morgen frueh mehr
> .....
Doch doch, für die b) reicht das schon. Wegen der a) da lese ich mir morgen den Link von mathemaduenn mal genau durch, dazu bin ich jetzt zu müde, werde wohl gleich schlafen gehen. Denn wer weiß, wann ich morgen geweckt werde...
Viele Grüße
Bastiane
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