Nullstellen..? < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x)=-2(x-1)^3-9(x-1)^2-12(x-1)-4 [/mm] auf dem Intervall [-2;2].
b) Berechnen Sie die Nullstellen von f.
Habe keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Substituion geht nicht, ausklammern auch nicht. Es muss einen Weg geben, dass man durch einen Trick diese Nullstellen berechnen kann. Solche Sachen wie Nullstellen erraten meine ich nicht, denn sowas haben wir nie gemacht! Ich bitte um Hilfe. Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Gegeben sei die Funktion
> [mm]f(x)=-2(x-1)^3-9(x-1)^2-12(x-1)-4[/mm] auf dem Intervall
> [-2;2].
die klammern ausmultiplizieren und vereinfachen, danach den term 0 setzen (-1 und 1/2 kommen raus)
>
>
> b) Berechnen Sie die Nullstellen von f.
>
> Habe keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Substituion
> geht nicht, ausklammern auch nicht. Es muss einen Weg
> geben, dass man durch einen Trick diese Nullstellen
> berechnen kann. Solche Sachen wie Nullstellen erraten meine
> ich nicht, denn sowas haben wir nie gemacht! Ich bitte um
> Hilfe. Vielen Dank.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Nun, es handelt sich um eine gewöhnliche Gleichung mit einer Unbekannten... wie bereits erwähnt kannst du einfach mal die Klammern ausmultiplizieren.
Danach sollte es kein Problem mehr sein, nach x aufzulösen! :)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 So 14.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Nun, es handelt sich um eine gewöhnliche Gleichung mit
> einer Unbekannten... wie bereits erwähnt kannst du einfach
> mal die Klammern ausmultiplizieren.
> Danach sollte es kein Problem mehr sein, nach x aufzulösen!
> :)
Kannst du das mal vorführen?
Das Ausmultiplizieren wäre nur sinnvoll, wenn das Ergebnis kein Absolutglied enthält -- das ist hier nicht der Fall (wie man ohne Ausmultiplizieren bereits feststellen kann).
Wie kann dann die ausmultiplizierte Gleichung einfacher zu lösen sein, als die Ausgangsgleichung (durch Substitution z=x-1)?
Die ausmultiplizierte Gleichung lautet nach meiner Rechnung: [mm] $-2x^3-3x^2+1=0$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Arcesius |
Dadurch, dass er die erste Nullstelle schon kennt, kann er nun diese ausmultiplizierte Gleichung mit Polynomdivision vereinfachen.
Das konnte ich aber hier noch nicht wissen.. somit ist deine Reaktion berechtigt.
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
Ok, dann gehe ich wie folgt vor:
Die gegenene Funktion lässt sich umformen zu
[mm] f(x)=-2x^3-3x^2+1
[/mm]
Also
[mm] (-2x^3-3x^2+1)(x+1)=-2x^2-x+1
[/mm]
[mm] -(-2x^3-2x^2)
[/mm]
--------------------------
[mm] -x^2+1
[/mm]
[mm] -(-x^2-x)
[/mm]
----------------------------
x+1
-(x+1)
------------------------------
0
Nun lassen sich die Nullstellen tatsächlich einfach berechnen. Oder habe ich einen Fehler bei der Polynomdivision? Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Morpheus!
Nein, das sieht richtig aus. Ein gutes Indiz ist auch immer, wenn die  Polynomdivision am Ende aufgeht.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ok, dann gehe ich wie folgt vor:
> Die gegenene Funktion lässt sich umformen zu
> [mm]f(x)=-2x^3-3x^2+1[/mm]
>
> Also
> [mm](-2x^3-3x^2+1)(x+1)=-2x^2-x+1[/mm]
> [mm]-(-2x^3-2x^2)[/mm]
> --------------------------
> [mm]-x^2+1[/mm]
> [mm]-(-x^2-x)[/mm]
> ----------------------------
> x+1
> -(x+1)
> ------------------------------
> 0
>
> Nun lassen sich die Nullstellen tatsächlich einfach
> berechnen. Oder habe ich einen Fehler bei der
> Polynomdivision? Vielen Dank!
Das ist zwar richtig, aber viel zu umständlich. Du darfst hier nicht vergessen, dass das Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Ausgangsfunktion ziemlich aufwendig war. Viel einfacher geht es so:
$ [mm] f(x)=-2(x-1)^3-9(x-1)^2-12(x-1)-4 [/mm] $
Nun ersetze den Ausdruck x-1 durch z, du erhältst die FUnktion
[mm] $f(z)=-2z^3-9z^2-12z-4$ [/mm] mit z:=x-1
Da f(x) die Nullstelle x=-1 hatte, hat f(z) nun die Nullstelle z=-1-1=-2. Also führst du nun folgende Polynomdivision aus:
[mm] $(-2z^3-9z^2-12z-4):(z+2)=...$
[/mm]
Da sollte dann [mm] $-2z^2-3z-2$ [/mm] rauskommen.
Davon kannst du weitere Nullstellen bestimmen, z.B. mit der p/q-Formel:
[mm] $z_1=-2$ [/mm] oder [mm] $z_2=-\frac12$.
[/mm]
Dann nicht vergessen, wieder zurückzusubstituieren:
[mm] $-2=x_1-1$ [/mm] oder [mm] $-\frac12=x_2-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_1=-1$ [/mm] oder [mm] $x_2=\frac12$
[/mm]
(Konkrete Zahlenwerte ohne Gewähr).
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Gegeben sei die Funktion
> [mm]f(x)=-2(x-1)^3-9(x-1)^2-12(x-1)-4[/mm] auf dem Intervall
> [-2;2].
>
>
> b) Berechnen Sie die Nullstellen von f.
>
> Habe keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Substituion
> geht nicht, ausklammern auch nicht. Es muss einen Weg
> geben, dass man durch einen Trick diese Nullstellen
> berechnen kann. Solche Sachen wie Nullstellen erraten meine
> ich nicht, denn sowas haben wir nie gemacht! Ich bitte um
> Hilfe. Vielen Dank.
Wie lautet denn der Aufgabenteil a), vielleicht gibt er ja einen Hinweis.
Andernfalls bleibt nur Substitution z:=x-1 und Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Cardanischen Formel (unwahrscheinlich, dass die gemeint sind) oder eben systematisches Probieren, um eine Nullstelle zu finden und anschließende Polynomdivision bzw. Horner-Schema-Division.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Aufgabenteil a) lautet:
Bestimmen Sie alle Maxima und Minima der Funktion. Unterscheiden Sie hierbei zwischen relativen und absoluten Extremwerten.
Durch Bestimmung der Extremwerte erhält man auch die Nullstelle -1, aber eben nicht die andere von 0,5! Wer kann mir helfen?
|
|
|
| |
|
> Gegeben sei die Funktion
> [mm]f(x)=-2(x-1)^3-9(x-1)^2-12(x-1)-4[/mm] auf dem Intervall
> [-2;2].
>
>
> b) Berechnen Sie die Nullstellen von f.
Hallo,
in deiner Mitteilung schreibst Du, daß Du im verlaufe der Berechnungen für teil a) schon herausgefunden hast, daß bei x=-1 eine Nullstelle ist.
Daher kannst Du wissen, daß Du f(x) schreiben kannst als f(x)=(x+1)*(Polynom 2. Grades).
Dividiere also f(x) mit Polynomdivision durch (x+1), Du bekommst ein quadratisches Polynom, dessen Nullstellen Du leicht berechnen kannst.
Gruß v. Angela
P.S.: was hast Du eigentlich gegen das Erraten von Nullstellen? Ob Du die -1 der Extremwertberechnung entnimmst, oder in einem inspirierten Moment errätst, ist doch eigentlich schnuppe, oder?
|
|
|
| |
|
> > Gegeben sei die Funktion
> > [mm]f(x)=-2(x-1)^3-9(x-1)^2-12(x-1)-4[/mm] auf dem Intervall
> > [-2;2].
> >
> >
> > b) Berechnen Sie die Nullstellen von f.
>
> Hallo,
>
> in deiner Mitteilung schreibst Du, daß Du im verlaufe der
> Berechnungen für teil a) schon herausgefunden hast, daß
> bei x=-1 eine Nullstelle ist.
>
> Daher kannst Du wissen, daß Du f(x) schreiben kannst als
> f(x)=(x+1)*(Polynom 2. Grades).
>
> Dividiere also f(x) mit Polynomdivision durch (x+1), Du
> bekommst ein quadratisches Polynom, dessen Nullstellen Du
> leicht berechnen kannst.
>
> Gruß v. Angela
>
> P.S.: was hast Du eigentlich gegen das Erraten von
> Nullstellen? Ob Du die -1 der Extremwertberechnung
> entnimmst, oder in einem inspirierten Moment errätst, ist
> doch eigentlich schnuppe, oder?
Hab nichts generell gegen das Erraten von Nullstellen. Genannte Aufgabe war jedoch eine Klausuraufgabe, in der es zeitlich nicht machbar wäre, Nullstellen zu erraten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Morpheus!
Wenn in einer Klausur Nullstellen erraten werden müssen, dann sollten diese auch schnell ersichtlich sein und damit keinen längere Zeit in Anspruch nehmen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Bei uns wird dies aber nicht durch das Erraten von Nullstellen berechnet, da bin ich mir sicher. Also bleibt nur noch Polynomdivison ja
?
> Hallo Morpheus!
>
>
> Wenn in einer Klausur Nullstellen erraten werden müssen,
> dann sollten diese auch schnell ersichtlich sein und damit
> keinen längere Zeit in Anspruch nehmen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
|
|
|
| |
|
Hallo
Hättest du bei Aufgabe a) nicht die erste Nullstelle schon erhalten, so wäre es für die Polynomdivision nötig gewesen, diese zu erraten.
Jetzt aber hast du schon die Nullstelle und wie erwähnt, kannst du die Polynomdivision ausführen und bekommst dann eine neue Gleichung die dir die fehlende(n) Nullstelle(n) liefern sollte.
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
> Bei uns wird dies aber nicht durch das Erraten von
> Nullstellen berechnet, da bin ich mir sicher. Also bleibt
> nur noch Polynomdivison ja
Hallo,
hier liegt möglicherweise ein verbreitetes Mißverständnis vor:
man kann nicht mit Polynomdivision Nullstellen bestimmen.
Aber wenn man irgendwoher - berechnet, geraten oder vom Kommilitonen abgeschreiben - eine Nullstelle hat, kann man sich dieser bedienen, eine entsprechende Polynomdivision durchführen, und in der Folge ein Polynom kleineren Grades bekommen, bei dem die Nullstellenbestimmung dann etwas einfacher ist.
Wie gesagt, ist die Aufgabe hier ja so nett gestelt, daß Du überhaupt keine Nullstelle erraten mußt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
