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Nullmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Mi 05.11.2003
Autor: ministel

:\ Ich hasse Nullmengen. Sowas blödes.

Sitze noch immer an dem Blatt und bekomm einfach die letzte, mir noch fehlende Aufgabe nicht hin.

Aufgabe
Sei $2 [mm] \le [/mm] n$ und $F: [0,1] [mm] \to \IR^n$ [/mm] eine stetig diffbare Abbildung. Zeigen Sie, dass $F([0,1])$ eine Nullmenge im [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.
Freiwilliger Zusatz: Gilt eine entsprechende Folgerung auch noch, falls F nur als Lipschitzstetig vorausgesetzt ist?


Was ich habe und hoffe, dass das stimmt und mir was bringt:
F stetig diffbar => F' stetig (auf kompaktem Raum) => F gleichmäßig stetig, F beschränkt => F Lipschitz-stetig
In der Hoffnung, dass man von da aus zeigen kann, dass F([0,1]) ne Nullmenge ist, denn dann wär die Antwort schön einfach: jaaa!

Hilfe? [mm] :\ [/mm]
(Ja, es ist schon spät, aber ich hab so gehofft, dass ichs doch noch allein hinbekomme ;()

        
Bezug
Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Do 06.11.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

wir zeigen zunächst allgemeiner:

Bilder von Nullmengen Lipschitz-stetiger Abbildungen [mm]f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/mm] sind wieder Nullmengen.

Die Behauptung folgt dann, wenn wir f durch:

[mm]\tilde{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/mm]

mit

[mm]\tilde{f}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(x_1)\cdot 1_{\{x_1 \in [0,1]\}}[/mm]

fortsetzen, denn [mm]\tilde{f}[/mm] ist natürlich auch Lipschitz-stetig, es gilt:

[mm]f([0,1]) = \tilde{f}([0,1] \times \{0\} \times \cdots \times \{0\})[/mm]

und [mm][0,1] \times \{0\} \times \cdots \times \{0\}[/mm] ist eine Nullmenge in [mm]\mathbb{R}^n[/mm].

Nun also zu der obigen Behauptung: Es sei N eine Nullmenge und [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es eine Familie von Würfeln [mm] (J_i), [/mm] die N überdecken und für die

[mm] \sum_{J_i \cap N \ne \emptyset} \vert J_i\vert < \varepsilon[/mm]

gilt. Sei [mm]J_i[/mm] von der Kantenlänge [mm]s_i[/mm]. Weiterhin sei [mm]x_0 \in N \cap J_i[/mm]. Dann gilt für alle [mm]x \in N \cap J_i[/mm]:

[mm]\Vert f(x) - f(x_0)\Vert \le L \cdot \Vert x - x_0\Vert \le L \cdot s_i[/mm] ,

d.h. [mm]f(x)[/mm] liegt in einem Würfel um [mm]f(x_0)[/mm] der Kantenlänge [mm]2Ls_i[/mm].

Dieser Würfel hat also das Volumen [mm](2L)^n \vert J_i\vert[/mm]. Mit anderen Worten: [mm]f(N)[/mm] wird überdeckt von Würfeln [mm](K_i)[/mm] mit

[mm] \sum_{K_i \cap f(N) \ne \emptyset} \vert K_i\vert < (2L)^n \varepsilon[/mm]

Da [mm]\varepsilon[/mm] beliebig war, ist [mm]f(N)[/mm] eine Lebesgue-Nullmenge.

Das war jetzt mit heißer Nadel gestrickt. Ich hoffe alles stimmt so. :-)

Alles Gute
Stefan


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Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Di 11.11.2003
Autor: ministel

Danke Stefan, dass du mir noch geantwortet hast. Ich bin bisher leider nicht dazu gekommen, dazu was zu schreiben, daher erst jetzt etwas verspätet.

Ich hab mir in der Nacht dann noch irgendwas zusammen gefriemelt mit allen möglichen Sätzen, die wir in der Vorlesung hatten. War mir aber sehr unsicher, was davon richtig war (wahrscheinlich nix ;)), und hab die Frage deshalb nicht abgehakt, nicht, dass du denkst "Was mach ichs noch, wenn sies eh schon hat?" ;)
Habs mir dann auch noch Donnerstag oder Freitag durchgelesen, aber hatte keine Zeit zum kommentieren.

Also mal schauen, was meine Tutorin zu meiner Lösung sagt, bekomms wohl heute wieder.

Bezug
                        
Bezug
Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Di 11.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Ministel,

hast du meinen Beweis denn verstanden?

Vielen Dank auf jeden Fall für deine Rückmeldung. :-)

Mal eine andere Frage: Du hast ja letztens so nett (und, wie ich fand, sehr verständlich und gut) eine Frage im Schulforum beantwortet. Ich würde mich freuen - angenommen es macht dir Spaß - wenn du das vielleicht mal häufiger tun und dich dann mittelfristig als Tutorin bei uns zu empfehlen würdest. Dann haben wir zwar einen Frauenüberschuss, aber damit können Marc und ich leben. ;-) Hättest du generell Lust dazu (allerdings muss ich dann vorher die anderen Tutorinnen und Tutoren fragen)?

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Di 11.11.03 16:00)

Bezug
                                
Bezug
Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Mi 12.11.2003
Autor: ministel

Ja, denke schon, dass ich ihn verstanden hab. Es gab zumindest nichts, wo ich gestockt hätte oder ähnliches. Anfangs fand ich diese Sache mit den Würfeln immer noch etwas seltsam, aber mittlerweile kommt das irgendwie in jeder zweiten Aufgabe vor, sodass ich da so langsam mit umgehen kann.


Also ich würd das sehr gern machen. :-)
Ich denke, die meisten Schulaufgaben sollte ich auch beantworten können, was das Uni-Zeugs angeht, vielleicht mit ein bisschen Überlegen auch die Erstsemesteraufgaben. ;-)
Falls ihr das Frauen-/Männerverhältnis aber lieber ausgeglichen haben wollt, wär das auch kein großes Problem für mich. Ich hab bisher nur nie auf Aufgaben geantwortet, wenn ich sie konnte, weil ihr meistens schneller wart. Aber falls ich demnächst wieder einmal jemanden erwischen sollte, dem ich helfen kann, werd ich das in jedem Fall tun, ob mit oder ohne Tutor-Status. ;-)


Aber abgesehen davon:
Hier waren grad dreißig Gäste?! Hast du deine Studenten oder jemand anderes seine Schüler dazu verdonnert? ;-)


Bezug
                                        
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Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Mi 12.11.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

super, dass du mitmachen willst!! Wir können es ja wie folgt machen, wenn du möchtest: Du antwortest erst mal so auf andere Beiträge und wenn du dann nach einer Zeit merkst, dass es dir immer noch Spaß macht und du auch Zeit dafür findest, dann werde ich dich den anderen Tutorinnen und Tutoren als neue Tutorin vorschlagen. Okay?

Zu den 30 Gästen: Das ist, glaube ich, google. Die besuchen uns ab und zu. Aber Marc weiß das besser. Marc? ;-) Auf jeden Fall habe ich keinen verdonnert als Gast aufzutreten. ;-)

Dein anderes Problem in Stochastik kann ich mir frühestens heute Abend anschauen, da ich sehr viel zu tun habe.

Alles Gute
Stefan


Bezug
                                                
Bezug
Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Mi 12.11.2003
Autor: Marc

Hallo ministel, hallo Stefan!

> super, dass du mitmachen willst!! Wir können es ja wie folgt
> machen, wenn du möchtest: Du antwortest erst mal so auf andere
> Beiträge und wenn du dann nach einer Zeit merkst, dass es dir
> immer noch Spaß macht und du auch Zeit dafür findest, dann
> werde ich dich den anderen Tutorinnen und Tutoren als neue
> Tutorin vorschlagen. Okay?

ministel wird Tutorin, ministel wird Tutorin!

> Zu den 30 Gästen: Das ist, glaube ich, google. Die besuchen uns
> ab und zu. Aber Marc weiß das besser. Marc? ;-) Auf jeden Fall

Ja, das ist google. Weiß auch nicht, warum die uns ausgerechnet heute alle 15 Sekunden besuchen. Wegen einer Programmier-Faulheit (und auch Unwissenheit) wird jeder Seitenaufruf von einem Browser, der keine Cookies unterstützt, als neuer Gast gezählt -- zu diesen "Browsern" gehört  auch der Google-Roboter.

> habe ich keinen verdonnert als Gast aufzutreten. ;-)

> Dein anderes Problem in Stochastik kann ich mir frühestens
> heute Abend anschauen, da ich sehr viel zu tun habe.

Ich leider gar nicht heute.

Viele Grüße,
Marc


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