Normieren einer Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich pauke gerade für meine LA2-Klausur.
Da bin ich auf ein kleines Problemchen gestossen.
Es sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 2.
B sei eine Basis von V mit [mm] B=(1,6x-4,6x^2-3), [/mm] und [mm]\Phi (v,w) = \integral_{0}^{1} v(x)*w(x),dx[/mm] eine Bilinearform.
Dazu sollte man zunächst die Strukurmatrix
bestimmen.
Dazu habe ich jede mögliche Kombination des Basisvektoren durch [mm]\Phi[/mm] abgebildet.
Anschliessend sollte man die Basis B orthogonalisieren.
Dazu habe ich das Gram-Schmidt´sche Orthogonalisierungsverfahren benutzt und habe folgende orthogonale Basis erhalten:
[mm] C=(1,6x-3,6x^2-18x+7)
[/mm]
Dazu wiederum die Strukturmatrix ermittelt, indem ich diese Basisvektoren mittels [mm]\Phi[/mm] abgebildet habe.
Nur fehlt mir leider der letzte Schritt:
Normiere C!
Weiss nicht wie ich das anstellen soll. Für Vektoren wäre das klar, indem ich die 2-Norm zu Hilfe ziehe.
Was aber muss ich hier machen?
Vielleicht kann mir da jemand helfen!
Gruss,
Wurzelpi
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Hallo Wurzelpi,
Für Hilberträume gilt imho sowas.
[mm]||x||=\wurzel{}[/mm]
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort.
Könntest Du mir das aber mal an einem Beispiel verdeutlichen?
Wäre nett!
Gruss,
Wurzelpi
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Hallo Wurzelpi,
Ich nehm gleich mal eine deiner Basisfunktionen.
y(x)=1,6x-3
[mm]=\int_{0}^{1} y(x)*y(x) dx [/mm]
Ausrechnen, Wurzel ziehen und
[mm]y_{normiert}=\bruch{y(x)}{||y||} [/mm]
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
Also, ich habe da gerade mal ausgerechnet und somit folgende ON- Basis erhalten:
C= ( 1, 1/ (3^(1/2))*(6x-3), 1/ (19.2)^(1/2) * [mm] (6x^2-18+7).
[/mm]
Kann das sein???
Du merkst vielleicht, dass mir das ein wenig Probleme bereitet.
Bei Vektoren ist mir das völlig klar, aber bei Polynomen?!?
Wie kann man denn nun noch überprüfen, ob das wirklich eine ON-Basis ist?
Gruss,
Wurzelpi
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Hallo Wurzelpi,
Deine Werte kann ich leider schlecht lesen. Starten solltest Du mit der Normierung mit den orthogonalisierten Basisfunktionen.
Ich hab für y=1,6x-3 Norm 2,25 ausgerechnet.
[mm]y_{normiert}=\bruch{1,6x-3}{2,25}[/mm]
Test auf ONB funktioniert genauso wie bei Vektoren jede Basisfunktion (jeder Basisvektor) muß die Norm 1 haben. Für 2 verschiedene Basisfunktionen( Basisvektoren) muß die Bilinearform (das Skalarprodukt ) 0 sein
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Di 03.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
Es tut mir echt Leid, aber Deinen Ausführungen kann ich nicht folgen!
> Ich hab für y=1,6x-3 Norm 2,25 ausgerechnet.
> [mm]y_{normiert}=\bruch{1,6x-3}{2,25}[/mm]
Was ist denn y= 1,6x-3?
Bei meiner Berechnung bin ich so vorgegangen, indem ich für jeden Basisvektor [mm] (w_1,w_2,w_3) [/mm] folgendes berechnet habe.
[mm]w_{i,normiert} = \bruch{1}{\wurzel{\int_{0}^{1} w_i^2,dx}} * w_i[/mm].
Test auf ONB funktioniert genauso wie bei Vektoren jede Basisfunktion (jeder Basisvektor) muß die Norm 1 haben. Für 2 verschiedene Basisfunktionen( Basisvektoren) muß die Bilinearform (das Skalarprodukt ) 0 sein
[okay]
Vielleicht kannst Du mir das bitte mal in aller Ausführlichkeit erklären, was Du genau machst.
Dann vertshe ich das bestimmt besser!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Di 03.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi!
> Was ist denn y= 1,6x-3?
Da lag nur ein kleiner Lesefehler vor, mathemaduenn hat wohl (wie ich anfänglich auch  ) "1,6x-3" statt "1", "6x-3" in deinem ersten Post gelesen.
> Bei meiner Berechnung bin ich so vorgegangen, indem ich für
> jeden Basisvektor [mm](w_1,w_2,w_3)[/mm] folgendes berechnet habe.
>
> [mm]w_{i,normiert} = \bruch{1}{\wurzel{\int_{0}^{1} w_i^2,dx}} * w_i[/mm].
Ja, so geht es.
Zur Sicherheit rechne ich es noch mal komplett vor, wie man die Basisvektoren normiert:
[mm] $w_1=1$
[/mm]
[mm] $w_2=6x-3$
[/mm]
[mm] $w_3=6x^2-18x+7$
[/mm]
Bilinearform: [mm] $\Phi(v,w)=\integral_0^1 v(x)w(x)\; [/mm] dx$
Länge eines Vektors [mm] $|w|=\wurzel{\langle w,w\rangle}=\wurzel{\Phi(w,w)}=\wurzel{\integral_0^1 w(x)w(x)\; dx}=\wurzel{\integral_0^1 \left(w(x)\right)^2\; dx}$
[/mm]
Für die Längen der Bassivektoren ergibt sich:
[mm] $|w_1|=\wurzel{\integral_0^1 w_1(x)*w_1(x)\; dx}=\wurzel{\integral_0^1 1*1\; dx}=\wurzel{1}=1$
[/mm]
[mm] $|w_2|=\wurzel{\integral_0^1 w_2(x)*w_2(x)\; dx}=\wurzel{\integral_0^1 (6x-3)(6x-3)\; dx}$
[/mm]
[mm] $=\wurzel{\integral_0^1 36x^2-36x+9\; dx}=\wurzel{\left[12x^3-18x^2+9x\right]_0^1}=\wurzel{12-18+9}=\wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $|w_3|=\wurzel{\integral_0^1 w_3(x)*w_3(x)\; dx}=\wurzel{\integral_0^1 (6x^2-18x+7)(6x^2-18x+7)\; dx}=\ldots$ [/mm] (eine schöne Übung  )
Die normierten Basisvektoren lauten dann:
[mm] $\bruch{w_1}{|w_1|}=\bruch{1}{1}=1$
[/mm]
[mm] $\bruch{w_2}{|w_2|}=\bruch{6x-3}{\wurzel{3}}=\wurzel{3}\left(2x-1\right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{w_3}{|w_3|}=\bruch{6x^2-18x+7}{\ldots}=\ldots$
[/mm]
> Test auf ONB funktioniert genauso wie bei Vektoren jede
> Basisfunktion (jeder Basisvektor) muß die Norm 1 haben. Für
> 2 verschiedene Basisfunktionen( Basisvektoren) muß die
> Bilinearform (das Skalarprodukt ) 0 sein
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Di 03.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Danke für Deine schnelle Antwort!
So habe ich das auch gemacht!
Dann bin ich jetzt sicher, dass das alles so richtig ist, bis auf den zwieten Basisvektor, der war 6x-3, anstatt 6x-4.
Aber darauf kommt es ja nicht an!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Di 03.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi!
> Dann bin ich jetzt sicher, dass das alles so richtig ist,
> bis auf den zwieten Basisvektor, der war 6x-3, anstatt
> 6x-4.
Ui, ja, ich hatte diesen Vektor aus der ursprünglichen Basis genommen, und nicht aus der orthogonalisierten.
> Aber darauf kommt es ja nicht an!
Ich verbessere es jetzt trotzdem
Viele Grüße,
Marc
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