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Norm von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Do 12.06.2003
Autor: ministel

Kann mir jemand sagen, wie ich die Norm bei Funktionen ermittle?
Also ich hätte als Beispiel zwei hier, mit denen ich nicht klarkomme.

Einmal soll ich die 2-Norm von ner Fourierreihe ermitteln. Gegeben ist sn(x) := c + Summe (von k=1 bis n) (ak*sin(kx) + bk*cos(kx)). Und ich soll bestimmen (bzw. durch Umformen auf ne andere Gleichung kommen, aber das ist erstmal nicht wichtig): (||sn||2)², wobei die 2 halt tiefgestellt ist.
Wie mach ich das denn? Also hab ich dann s1² + s2² + ... + sn² oder wie?

Und das zweite Beispiel wär, dass ich 1-Norm und Maximumsnorm von [mm] (2^n)*x [/mm] bestimmen soll.

Ich weiß halt nicht, was da die einzelnen Komponeten sind, zumal das auch ne Funktion von IR nach IR ist. Ist dann die Maximumsnorm einfach das Maximum der Funktion und die 1-Norm gleich der 2-Norm, usw. gleich der normalen Funktion?

        
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Norm von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Do 12.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

danke für deine Frage im MatheRaum! :-)

Ich kann dir sagen, wie die 2-Norm einer auf dem Intervall [a; b] stetigen Funktion definiert ist:

[mm] ||f||_2 [/mm] = ( INT |f(t)|² dt ) ^ (1/2)
(das Integral in den Grenzen von a bis b)

[mm]||f||_2 = ( \int_a^b |f(t)|^2 dt ) ^\frac{1}{2}[/mm]
[mm2]||f||_2 = ( \int_a^b |f(t)|^2 dt ) ^\frac{1}{2}[/mm2]

[mm2]||f||_2 = \sqrt{ \int_a^b\limits |f(t)|^2 dt }[/mm2]

Für welche Funktion wird denn deine Fourier-Reihe gebildet, bzw., weißt du, was die Koeffizienten ak und bk sind? Es wäre jetzt gut, wenn diese Funktion stetig wäre, dann könnten wir obige Definition anwenden, denn sn ist wäre dann (als Zusammensetzung stetiger Funktionen) ebenfalls stetig.

Die 1-Norm wäre analog:

[mm] ||f||_1 [/mm] = INT |f(t)| dt
(Integral in den Grenzen von a bis b; ist für deine zweite Aufgabe ein solches Intervall erkennbar?)

[mm]||f||_1 = \int_a^b |f(t)| dt[/mm]

Die Maximumsnorm ist --meiner Meinung nach-- einfach das Maximum der Beträge der Funktionswerte auf der Definitionsmenge. Da das Maximum nicht immer existiert, sagt man besser Supremumsnorm:

||f||_oo = sup{ |f(x)| | x Element D }
[mm2]||f||_\infty = sup \{ |f(x)| | x \in D \} [/mm2]


D = Definitionsmenge von f

Ich hoffe, das hilft dir bereits weiter (allerdings muß ich dazu sagen, dass ich mir dabei nicht sicher bin, weil ich Fourier-Reihen nicht wirklich kenne) kannst uns ja deine weiteren Versuche posten.

Bis bald,
Marc


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 Fr 13.06.2003
Autor: ministel

Ah, genial, haut alles genauso hin, wie es sein muss! :)

Gleichungen gehen alle auf, Induktion lässt sich damit wunderbar vollführen, und Normen berechnen sich wie von selbst.

Falls es dich interessiert noch kurz zu den Fourierreihen:
Wenn du eine stetig differenzierbare, 2pi-periodische Funktion hast, dann ist die immer gleichmäßiger Limes einer Fourierreihe, wobei die sich wie folgt berechnet:
sn := c + Summe (von k=1 bis n) ak*sin(kx) + bk*cos(kx)
Dabei sind c, ak und bk wie folgt definiert:
c := 1/(2pi)* Integral f(x)dx in den Grenzen von 0 bis 2pi
ak := 1/pi* Integral f(x)sin(x)dx in den Grenzen von 0 bis 2pi
bk := 1/pi* Integral f(x)cos(x)dx in den Grenzen von 0 bis 2pi

Also tausend Dank für die schnelle Antwort, hast mir sehr weitergeholfen!

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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:47 Sa 14.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

es freut mich sehr, dass dir meine Antwort weitergeholfen hat.

Dafür habe ich jetzt auch verstanden, dass, wenn man von Fourier-Reihe spricht, diese wohl immer zu einer stetig-diffbaren Funktion gebildet wurde.

Wenn du magst, kannst du dich ruhig öfter hier auf www.MatheRaum.de blicken lassen, sowohl als Rat-Suchender, als auch als Rat-Gebender :-).

Gruß,
Marc.


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Sa 14.06.2003
Autor: ministel

Dumm nur, dass ich die Koeffizienten falsch aufgeschrieben hab. Ist aber kein großer Fehler, einfach nur den Sinus/Cosinus von kx und nicht nur von x bilden, sonst stimmt alles.

Werde gerne weiterhin ab und zu hier vorbeischauen und helfen, falls ich kann (zumindest den Schulstoff sollte ich doch drauf haben ;-)). Schade nur, dass die Seite hier scheinbar so unbekannt ist, ihr müsstet mal ein bisschen mehr Werbung machen...


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Sa 14.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

ja, mit der Werbung ist das so eine Sache. So richtig aggressiv bewerben können wir MatheRaum ja nicht, weil sich sonst jeder fragt: Was haben die davon? Wir verkaufen ja nichts und wollen die Seite ja absolut nicht-kommerziell betreiben.

Wenn sich ab und zu jemand hierher verirrt, bin ich persönlich ja schon zufrieden. Ich denke, es ist in Ordnung, wenn unsere "Mathe-Gemeinschaft" langsam wächst und gedeiht, wie jede andere Gemeinschaft ja wahrscheinlich auch.

In diesem Zusammenhang würde mich interessieren, wie du eigentlich von uns gehört hast?

Alles Gute,
Marc


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Sa 14.06.2003
Autor: ministel

Ich schreibe hin und wieder bei youngmiss.de im Forum, und da hat mich jemand (namentlich Tanea, falls dir das was sagt) drauf aufmerksam gemacht, dass ich meine Frage mal hier stellen sollte, weil mir bei YM niemand helfen konnte.

Wenns recht ist, werd ich ab und zu ein paar Leute hier her verweisen, im YM-Forum werden eigentlich desöfteren Mathefragen gestellt...

Studierst du eigentlich Mathe oder etwas Matheähnliches?

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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Sa 14.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

> Ich schreibe hin und wieder bei youngmiss.de im Forum, und da
> hat mich jemand (namentlich Tanea, falls dir das was sagt)
> drauf aufmerksam gemacht, dass ich meine Frage mal hier stellen
> sollte, weil mir bei YM niemand helfen konnte.

ja klar sagt mir tanea was, ich bringe sie aber eher mit einem anderen Forum in Verbindung... falls es sie ist, dann hat sie vor kurzem mit Bravour ihre Mathe-Abi-Klausur geschrieben :-)

> Wenns recht ist, werd ich ab und zu ein paar Leute hier her
> verweisen, im YM-Forum werden eigentlich desöfteren Mathefragen
> gestellt...

Gegen Mundpropaganda ist natürlich nichts einzuwenden, ist mir sogar sympathischer, als irgendwie anders selbst dafür Werbung zu machen.

> Studierst du eigentlich Mathe oder etwas Matheähnliches?

Ja, sozusagen. Ich studiere Mathematik in Bochum auf Diplom (mit Schwerpunkt Informatik und Nebenfach WiWi), muß aber "nur" noch die Diplom-Prüfungen absolvieren, und lerne eigentlich zur Zeit dafür... wenn ich keine interessanteren Ablenkungen finde... ;-)

Was studierst du denn so?

Viele Grüße,
Marc


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Sa 14.06.2003
Autor: ministel

Ich studier auch Mathe auf Diplom, dümpel allerdings erst im zweiten Semester vor mich hin.

Du hast nicht zufällig Lust, mir nochmal kurz bei ner Aufgabe zu helfen...? Ich bräuchte irgendwie nur mal ein paar Tipps oder Ansätze, damit ich weiterkomme; steh im Moment irgendwie ziemlich aufm Schlauch.

Also Aufgabenstellung lautet:
Sei E eine konvexe, kompakte Teilmenge des [mm] IR^n [/mm] mit E = -E und 0 € E° (also dem Inneren von E). Zeigen Sie, daß ||0|| = 0 und ||v|| := min {a € IR>0 | v/a € E} für v != 0 eine Norm auf [mm] IR^n [/mm] definiert und dann E = {v € [mm] IR^n [/mm] | ||v|| </= 1} (soll heißen: "kleiner gleich") gilt.
Dabei heißt E konvex, wenn mit zwei Vektoren v € E und w € E auch ihre Verbindungslinie in E liegt, d.h. alle Vektoren bv + (1-b)w für b € [0,1].
E = -E bedeutet, daß v € E genau dann, wenn -v € E.
(Anleitung: Zeigen Sie zunächst: zu v != 0 ist Av := {a € IR<0 | v/a € E} != {}, da 0 € E°. Dann: inf Av existiert, da E beschränkt, und min Av, da E abgeschlossen ist. Aus der Konvexität erhält man die Dreiecksungleichung, und die Bedingung E = -E braucht man für die positive Homogenität der Norm.)

Jo, und ich hab jetzt bestimmt schon drei Seiten lang rumprobiert und versucht Homogenität oder Dreiecksungleichung zu zeigen, aber kriegs null hin. Irgendwie scheint mir da der zündende Einfall zu fehlen und mittlerweile bin ich kurz vorm Aufgeben.

Du hättest da nicht zufällig irgend einen heißen Tipp oder Ansatz...? Falls es nicht zu viel Arbeit macht halt.

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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Sa 14.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

wenn sich bis dahin keiner findet, werde ich deine Frage morgen Mittag beantworten.

Bei der Definition von Av steht bestimmt ein ">", oder?
[mm] A_v := \{ a \in \mathds{R}^{<0} | v/a \in E \} [/mm]
Av := {a € IR<0 | v/a € E} also
Av := {a € IR>0 | v/a € E}

Die Sachen außer Homegenität und Dreiecksungleichung hast du schon gezeigt?

Spontan ist mir nicht ganz klar, weswegen E nicht einfach nur den Nullvektor enthalten kann, also E = {0}, muß wohl aber damit zu tun haben, dass die 0 im offenen Kern von E liegt, nur ist mir die Argumentation nicht ganz klar (ein Punkt ist doch eine offene Menge, oder?)

Bis morgen also,
Marc


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Norm von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Sa 14.06.2003
Autor: Stefan

Lieber Marc,

> nur
> ist mir die Argumentation nicht ganz klar (ein Punkt ist doch
> eine offene Menge, oder?)


Nein, ein Punkt eines metrischen Raumes ist eine abgeschlossene Teilmenge. Punkte eines metrischen Raumes (X,d) sind nur genau dann offene Teilmengen, wenn sie diskret sind, d.h. wenn es offene epsilon-Bälle um den Punkt gibt, die keinen weiteren Punkt der Menge X enthalten.

Beispiel: Betrachte den Raum (IN, d_IN), wobei d_IN die auf IN eingeschränkte euklische Metrik d ist. Dann sind alle n € IN offen (und abgeschlossen).

Die Argumentation ist jetzt die folgende.

Da die die Abbildung (a,v) -> v/a (a ungleich 0)stetig ist und außerdem die Norm stetig ist, gilt:

lim(a->+oo) ||v/a|| = ||0|| = 0. (*)

Da 0 € E° gilt, liegt auch ein offener epsilon-Ball um 0 in E°.

Wähle nun a so groß, dass ||v/a|| < epsilon (siehe (*).

Dann gilt: v/a € B_epsilon(0) c E° c E.

Viele liebe Grüße
Stefan


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:48 Mo 16.06.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

ja, natürlich, ist lange her...

Danke für die Erläuterungen!

Gruß,
Marc


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Sa 14.06.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

ich werde mal versuchen dir ein bisschen zu helfen. :-)

Zur Dreiecksungleichung:

Nach Voraussetzung (hier geht die Abgeschlossenheit von E ein) gilt:

(1 / ||v||) * v € E

und

(1 / ||w||) * w € E.

Da E konvex ist und ||v|| / (||v|| + ||w||) + ||w|| / (||v|| + ||w||) = 1 gilt, ist auch

||v|| / (||v|| + ||w||) * (  (1 / ||v||) * v ) +
||w|| / (||v|| + ||w||) * (  (1 / ||w||) * w ) € E.

Kürzt man hier das ||v|| und das ||w||, so erhält man:

1/ ( ||v|| +  ||w|| ) * v + 1/( ||v|| + ||w||) * w € E

oder, anders geschrieben:

1/ (||v|| + ||w||) * (v + w) € E.

Die bedeutet aber:

(||v|| + ||w||) € {a € R>0 : (v+w)/a € E},

also:

||v|| + ||w|| >= min {a € R>0 : (v+w)/a € E} = ||v+w||,

was zu zeigen war.


Zur Homogenität:

Für lambda = 0 gilt ist die Behauptung wegen ||0||=0 trivial.

Ist lambda > 0, so gilt:

||lambda * v||

= min {a € R>0 : (lambda*v) / a € E }

= min {lambda * a/lambda € R>0 : v / (a/lambda) € E }

= lambda * min { a/lambda € R>0 : v / (a/lambda) € E }

= lambda * min { b € R>0 : v/b € E }

= lambda * ||v||.

= |lambda| * ||v||.

Ist lambda < 0, so gilt:

||lambda * v||

= min {a € R>0 : (lambda*v) / a € E }

= min {a € R>0 : -(lambda*v) / a € -E }

= min {a € R>0 : -(lambda*v)/a € E } (E = -E !)

= min {(-lambda) * a/(-lambda) € R>0 : v/(a/-lambda) € E }

= (-lambda) * min { a/(-lambda) € R>0 : v / (a/-lambda) € E }

= (-lambda) * min { b € R>0 : v/b € E }

= |lambda| * ||v||.

Melde dich doch einfach wieder, wenn du noch Fragen hast. Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Viele liebe Grüße an Tanea! Da fällt mir ein:  Ich muss auch noch auf ihre Mail antworten, peinlich... ;-)

Viele Grüße
Stefan


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:52 So 15.06.2003
Autor: ministel

Ah, tausend Dank!

Bei der Homogenität hatte ich einen ähnlichen Ansatz, den ich wohl nur zu Ende hätte führen müssen, damit es auch aufgegangen wär, hab mich dann aber verhaspelt und schließlich doch aufgegeben.

Ist immer so ernüchternd, wenn man dann im Nachhinein sieht, wie einfach es gewesen wäre, wenn man nur richtig rum gedacht hätte, aber naja... ist ja noch kein Meister vom Himmel gefallen. ;-)

Also danke nochmals!
Wenn mich mal jemand nach nem guten Matheforum fragen sollte, werde ich hier her weiterleiten, und selber werde ich auf euren grandiosen Service natürlich auch gerne wieder zurückgreifen! :-)


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Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 So 15.06.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

nichts zu danken, ich habe dir gerne geholfen.

> Ist immer so ernüchternd, wenn man dann im Nachhinein sieht,
> wie einfach es gewesen wäre, wenn man nur richtig rum gedacht
> hätte,

So ging es mir im Studium auch oft, besonders in den Anfangssemestern.

> aber naja... ist ja noch kein Meister vom Himmel
> gefallen. ;-)

In der Tat. Die meisten Beweisideen entspringen nicht der eigenen Genialität und Kreativität, sondern vielmehr mathematischer Routine. "So etwas ähnliches hatten wir doch schon mal..." Man erinnert sich schwach und vollbringt dann meistens nur eine Transferleistung. Reine Übungssache! Nur auf die wenigen wirklich eigenständigen Beweisideen ist man auch nach Wochen noch stolz.

> Wenn mich mal jemand nach nem guten Matheforum fragen sollte,
> werde ich hier her weiterleiten, und selber werde ich auf euren
> grandiosen Service natürlich auch gerne wieder zurückgreifen!
> :-)

Beides ist bei uns sehr gerne gesehen. :-)

Eine Frage: Bist du eigentlich eine Studentin oder ein Student? Das Wissen darüber macht die Anrede einfacher.

Viele Grüße
Stefan


Bezug
                                                                                                
Bezug
Norm von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:03 Mo 16.06.2003
Autor: ministel

Stimmt, das mit der Routine hab ich mittlerweile auch bemerkt. Hatte anfangs ziemliche Probleme, meine wöchentlichen Übungsaufgaben selber zu rechnen, und irgendwann kam dann der erste Beweis, bei dem ich dachte, dass mir das irgendwie bekannt vorkommt. Irgendwie läuft ja doch immer alles nach Schema F ab, und sobald man sich die gängigen Beweisführungen mal gemerkt hat, gehts eigentlich recht einfach.
Naja, wie auch immer. :-)

Bin Studentin. :-)

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