Norm einer Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:03 Sa 03.09.2005 | | Autor: | detlef |
hallo,
wieso kann man Matrizen normen, welchen sinn hat das und wieso gibt es verschiedene normen?
wie berechnet man die unterschiedlichen normen?
detlef
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Mo 05.09.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Detlef,
> hallo,
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> wieso kann man Matrizen normen, welchen sinn hat das und
> wieso gibt es verschiedene normen?
> wie berechnet man die unterschiedlichen normen?
>
Das sind viele Fragen auf einmal, und ich weiß nicht, auf welches mathematische Vorwissen bei dir zurückgreifen kann. Matrizen hängen mit (linearen) Abbildungen zwischen Vektorräumen zusammen und bilden selbst auch wieder einen Vektorraum. Eine Norm in einem Vektorraum ist so etwas wie eine Größenangabe, und über eine Norm komme ich zu einem Abstand zwischen zwei Elementen dieses Vektorraumes. Das heißt dann, daß ich Teile meiner Anschauung aus dem 3dimensionalen Raum auf diesen normierten Vektorraum übertragen kann. Verschiedene Normen ergeben dann verschiedene Geometrien, und berechnet werden sie mal so, mal so.
Wenn dir Bücher über Funktionalanalysis (physisch und vom Verständnis) zugänglich sind, findest du dort genauere Begründungen. Matrizen hängen auch mit linearen Gleichungssystemen zusammen, und die zugehörigen Lösungsverfahren greifen auf Normen von Matrizen zurück.
Literaturhinweis: Collatz, Funktionalanalysis und numerische Mathematik
> detlef
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Für weitere Fragen stehe ich dir gerne zur Verfügung, vielleicht findet auch jemand anders eine plausiblere Antwort.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mo 05.09.2005 | | Autor: | detlef |
schon mal vielen dank, aber was kann ich mir unter diesem satz vorstellen:
Verschiedene Normen ergeben dann verschiedene Geometrien
das ist eine ganz wesentliche frage, die ich mir stelle und die mich im verständnis weiterbringen würde...
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Betrachte mal im [mm] $\IR^2$ [/mm] die drei folgenden Normen
[mm] $\Vert \pmat{x_1 \\ x_2} \Vert_1:=|x_1| [/mm] + [mm] |x_2|$,
[/mm]
[mm] $\Vert \pmat{x_1 \\ x_2} \Vert_2:= \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$,
[/mm]
[mm] $\Vert \pmat{ x_1 \\ x_2} \Vert_{\infty}:= \max\{|x_1|,|x_2|\}$.
[/mm]
Überlege dir mal, wie bezüglich dieser drei Normen jeweils der "Einheitskreis" aussieht, also die Menge der Punkte [mm] $\pmat{x_1 \\ x_2} \in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\Vert \pmat{x_1 \\ x_2} \Vert [/mm] =1$.
Die kanonische, zu einer Vektornom [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert$ [/mm] zugehörige, Matrixnorm [mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert$ [/mm] einer quadratischen Matrix ist definiert als:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert :=\sup\limits_{x \ne 0} \frac{\Vert Ax \Vert}{\Vert x \Vert} [/mm] = [mm] \sup\limits_{\Vert x \Vert = 1} \Vert [/mm] Ax [mm] \Vert$.
[/mm]
Dies ist die kleinste Schranke $C$ mit
[mm] $\Vert [/mm] Ax [mm] \Vert \le [/mm] C [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert$
[/mm]
für alle Vektoren $x$. Damit ist $A$ als lineare Abbildung Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten $C$. (Falls du diese Begriffe kennst, wird es dir hilfreich sein; sonst vergiss es bitte...  )
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 05.09.2005 | | Autor: | detlef |
also wie die 1-,2-norm aussieht kann ich mir vorstellen, aber nicht wie die unendlich-norm aussieht!?!? und das andere sagt mir nicht so viel, sorry!
aber ich begreife noch nicht so ganz, iweso man diese matrizen normt?
detlef
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Hallo!
> also wie die 1-,2-norm aussieht kann ich mir vorstellen,
> aber nicht wie die unendlich-norm aussieht!?!? und das
> andere sagt mir nicht so viel, sorry!
Also, wie die Unendlichnorm aussieht, findest du so heraus. Stell dir vor, du hast den Vektor [mm] \vektor{x_1\\x_2} [/mm] - die Unendlichnorm gibt ja das Supremum der Beträge als "Ergebnis". Wenn nun als "Ergebnis" 1 herauskommen soll (denn du willst ja wissen, wie der "Einheitskreis" aussieht), dann muss natürlich einer der beiden Koordinaten, also entweder [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2, [/mm] vom Betrag her =1 sein. Für alle [mm] x_1 [/mm] mit [mm] |x_1|\le [/mm] 1 folgt dann, dass [mm] |x_2|=1. [/mm] Wenn [mm] |x_1|=1, [/mm] dann kann [mm] x_2 [/mm] alles beliebige [mm] \le [/mm] 1 und [mm] \ge [/mm] -1 sein. Und was erhältst du dann? Du erhälst ein Quadrat mit Seitenlänge 2. Verstehst du das?
> aber ich begreife noch nicht so ganz, iweso man diese
> matrizen normt?
Mmh, naja, wohl, damit man einen Abstandsbegriff hat oder vllt auch um zwei Matrizen "von der Größe" her vergleichen zu können. Aber das soll dir lieber jemand anders nochmal erklären.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 05.09.2005 | | Autor: | detlef |
hmm ehrlich gesagt versteh ich das mit der unendlichnorm nicht so ganz, was heißt das Supremum der Beträge ?wieso ist das das?
detlef
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Hallo!
> hmm ehrlich gesagt versteh ich das mit der unendlichnorm
> nicht so ganz, was heißt das Supremum der Beträge ?wieso
> ist das das?
Wieso das so ist? Nun ja, das wurde halt einfach so definiert. Man kann es wohl auch beweisen, dass es der Grenzwert der p-Normen ist, also [mm] \lim_{p\to\infty}||x||_p [/mm] oder so ähnlich. Aber das kann ich dir jetzt leider nicht vorführen... Es ist halt einfach so definiert, wie man halt auch den "Betrag" (bzw. die Norm) für Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] definiert hat oder gar den Betrag reeller Zahlen.
Supremum ist die kleinste obere Schranke, also so was ähnliches wie ein Maximum (nur dass das Maximum auf jeden Fall in der Menge liegt, das Supremum nicht unbedingt. Siehe dazu auch![[]](/images/popup.gif) hier). Ich glaube in dem Fall, wo du dir den "Einheitskreis" anguckst, kannst du dir vorstellen, es sei das Maximum. Das kennst du doch hoffentlich? So, und wenn wir jetzt mal einen beliebigen Vektor nehmen:
[mm] x=\vektor{2\\5}
[/mm]
Dann wäre
[mm] ||x||_{\infty}=5
[/mm]
bei [mm] x=\vektor{1\\5}
[/mm]
wäre es ebenfalls
[mm] ||x||_{\infty}=5
[/mm]
Bei [mm] x=\vektor{-5\\2}
[/mm]
wäre es wiederum
[mm] ||x||_{\infty}=5,
[/mm]
denn |-5|=5>2=|2|
Jetzt verständlicher?
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 06.09.2005 | | Autor: | detlef |
gut, dann ist mir das jetzt klarer geworden!danke!
ich wusste nicht das das unedlich was mit dem supremum zu tun hat!
aber was ist diese lipschitz-konstante und was gibt die an?
wenn man dann eine norm festgelegt hat und diese weiss, wie geht es kann weiter, wenn man die kondition berechnen will?
detlef
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Hallo Detlef,
die n x m -Matritzen aus z.B. [mm] \IR^{nxm} [/mm] bilden selbst einen Vektorraum, auf dem man dasselbe machen kann, was man auf anschaulich "normalen" Räumen macht, nämlich Abstände zwischen zwei Punkten definieren: man hat dann halt den "Abstand" zwischen zwei Matritzen. Eine Norm ist dann einfach der Abstand zum Nullvektor. Auch im "normalen" Vektorraum kann man unterschiedliche Normen definieren: die Suppremumsnorm geht da geanuso (Du nimmst als Abstand von 0 den größten Betrag der Komponenten). Normaler Weise würde man den euklidschen Abstand berechnen, den kann man abergenauso für Matritzen definieren. Also, man nimmt eine zum Problem passende Norm.
Was ist jetzt der Sinn und um welche Probleme geht es?
Man untersucht z.B. in der Numerik oft Funktionen zwischen Vektorräumen, die Matritzen enthalten, wo man mithilfe von Algorithmen Minima etc. finden will. Da ist es gut, wenn man Abschätzungen der Art |f(x)| < ||A|| |x| hat, oder wenn man eine komplzierte Funktion durch eine einfachere ersetzten "nahebei liegende" kann, ohne das Minimum dadurch zu verfehlen: deshalb bringt es was, wenn man Matrizen und allgemein Funktionen analog zu Punkten im Raum behandeln kann und "Abstände" messen.
Gruß, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 07.09.2005 | | Autor: | detlef |
wunderbar, vielen dank für die ausführliche erläuterung! nun stellt sich noch die frage, wie man die normierung bei der konditionszahl einer matrix braucht?
ändert sich die konditionszahl bei verschiedenen normen?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, die Kondition
$cond(A)= [mm] \Vert [/mm] A [mm] \Vert \cdot \Vert A^{-1} \Vert$
[/mm]
hängt von der verwendeten Matrixnorm ab!
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mi 07.09.2005 | | Autor: | detlef |
wo brauche ich da denn die norm und wie ändert sich die kondition bei den normen?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> wo brauche ich da denn die norm
Die Frage verstehe ich nicht, ich habe es doch angegeben:
$cond(A) = [mm] \Vert [/mm] A [mm] \Vert \cdot \Vert A^{-1} \Vert$,
[/mm]
also ist die Kondition die Matrixnorm von $A$ multipliziert mit der Matrixnorm von [mm] $A^{-1}$.
[/mm]
> und wie ändert sich die
> kondition bei den normen?
Probiere es doch selber aus!
Es sei $A= [mm] \pmat{1 & 2 \\ 3 & 7}$.
[/mm]
Berechne die Kondition der Matrix
a) bezüglich der Spaltenbetragssummennorm:
[mm] $\Vert A\Vert_1 [/mm] : = [mm] \max\{|a_{11}| + |a_{21}|, |a_{12}| + |a_{22}|\}$,
[/mm]
und b) bezüglich der Zeilenbetragssummennorm:
[mm] $\Vert A\Vert_{\infty} [/mm] := [mm] \max\{|a_{11}| + |a_{12}|, |a_{21}| + |a_{22}|\}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 07.09.2005 | | Autor: | detlef |
oh ja, ich hatte vergessen, dass ||A|| ja die normschreibweise ist, jetzt ist es klar!
und A^(-1) ist doch die inverse richtig?
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Detlef!
> und [mm] $A^{-1}$ [/mm] ist doch die inverse richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mi 07.09.2005 | | Autor: | detlef |
ich bekomme den bogen noch nicht so ganz, jetzt lege ich eine norm fest(längenberechnung) und dann berechne ich die kondition, die ein maß für die genauigkeit einer lösung darstellt(gleichungssystem), wie passt das zusammen?
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Do 08.09.2005 | | Autor: | detlef |
hmm kann mir keiner helfen?wäre sehr nett!!bitte!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Detlef!
Man misst den Fehler des Lösungsvektors ja in einer gewissen Vektor-Norm. Und diesen Fehler bezüglich einer gewissen Vektor-Norm kann man dann mit Hilfe der Kondition der Matrix bezüglich einer zur Vektor-Norm passenden Matrix-Norm abschätzen.
Ich werde übrigens das Gefühl nicht los, dass du auf dem Matheplaneten eine Paralleldiskussion zu dem Thema führst. Kann das sein?
Und warum machst du die Aufgaben nicht, die ich dir stelle um dein Verständnis zu fördern?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Fr 09.09.2005 | | Autor: | detlef |
also deine aufgaben habe ich schon gelöst! und ich führe eine ähnliche diskussion, damit ich verschiedene antworten bekomme und überall was neues lerne...
und so hat das auch geklappt! ist das verboten?
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Detlef!
Nein, verboten ist das nicht, nur sollte man die Teilnehmer beider Diskussionen aus Fairnessgründen darauf hinweisen, denn warum muss ich hier Sachen wiederholen, die beim Matheplaneten schon gesagt wurden? Das ist Vergeudung meiner (ehrenamtlichen, unbezahlten) Arbeitskraft. In der Zeit hätte ich lieber jemand anderem geholfen, der woanders nicht schon eine Antwort auf die gleiche Frage bekommen hat. Ähnlich wird man es dort sehen.
Cross-Posting ist generell zu vermeiden, aber durchaus erlaubt, wenn man darauf hinweist. Ganz schlecht ist es, wenn man vorher hier schreibt:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt,
es dann aber doch tut und darauf nicht hinweist.
Ich werde in diesem Thread jetzt nicht mehr antworten. Fragen kannst du natürlich trotzdem weiterhin, denn vielleicht antwortet ja jemand anderes. Ich bin nur zufällig darauf aufmerksam geworden, weil ich beim Matheplaneten in letzter Zeit auch häufiger antworte.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Di 06.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Noch einmal zu den Matrixnormen:
Erst einmal kann man Abstände zwischen Matrizen messen, was zum Beispiel bei Matrizen mit fehlerbehafteten Daten wichtig ist. Wichtiger ist aber, dass man dadurch bei linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen normierten Vektorräumen die kleinstmögliche Lipschitz-Konstante erhält.
Liebe Grüße
Julius
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