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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Noch ne Aufgabe
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Noch ne Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Do 15.05.2003
Autor: Lea

Hallo Marc, hallo Stefan,

würdet ihr mal nachschaun ob ich diese Aufageb richtig gerechnet habe? Vor allem ob die Begründungen stimmen.

Aufgabe
Gegeben sind die Punkte $A(3/-3/0)$, $B(3/3/0)$, $C(-3/3/0)$, $D(-3/-3/0)$ und $S(0/0/4)$.

a) Untersuchen Sie die Form der räumlichen Figur $ABCDS$. Fertigen Sie eine zutreffende Zeichnung an.

b) Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Seitenfläche $ABS$ mit der ihr benachbarten Seitenfläche $BCS$ einschließt.

c) Begründen Sie, warum alle Seitenflächen denselben Abstand vom Nullpunkt haben. Berechnen Sie diesen Abstand.

d) Berechnen Sie den Abstand von Punkt $A$ zu der Ebene, in der die Seitenfläche $BCS$ liegt.
Begründen Sie, warum dieser Abstand nicht derselbe ist, wie der Abstand von Punkt $A$ zur Seitenfläche $BCS$.


a)
ABCD ist ein Quadrat da die Punkte der Grundfläche die gleichen Koordinaten mit jeweils anderen Vorzeichen haben, alle Punkt also auf der gleichen Position in anderen Quadranten liegen.
Es gilt also |AB|=|BC|=|CD|=|AD|=6 LE
Da die z_koordinaten aller Punkte des Quadrats =0 sind und der Punkt auf der z-Achse liegt ist ABCDS eine quadratische Pyramide.

b)
E_ABS:x=(3/-3/0)+s(0/6/0)+t(-3/3/4)

Normalenform:
4x+3z=12

E_BCS:x=(3/3/0)+l(-6/0/0)+k(-3/-3/4)

Normalenform:
4y+3z=12

Schnittwinkel:
61,31°

c)Alle Seitenflächen haben denselben Abstand zum Nullpunkt da die Pyramide wie schon in a) beschreiben eine quadratische Pyramide ist die die Spitze auf der z-Achse, also "über" dem Nullpunkt hat.

d)Der Abstand beträgt 4,8 LE
Der Abstand zur Seitenfläche BCS ist wahrscheinlich länger als der Abstand zu Ebene da der Punkt der Ebene der am nächsten an A dran liegt außerhalb von BCS liegt.


Wahrscheinlich sind hier jetzt wahnsinnig viele Fehler drin, ich kann inzwischen nichtmal mehr 1/2 *1/2 oder so im Kopf ausrechen und hab mich hier bei der Aufgabe schon 1000 mal verrechnet.
:-(
Ich verzweifle gerade so ein bisschen, wahrscheinlich einfach zuviele Mathe heute. ;-)



Viele Grüße,
Lea

        
Bezug
Noch ne Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Do 15.05.2003
Autor: Marc

Hallo Lea,

> a)
> ABCD ist ein Quadrat da die Punkte der Grundfläche die gleichen
> Koordinaten mit jeweils anderen Vorzeichen haben, alle Punkt
> also auf der gleichen Position in anderen Quadranten liegen.
> Es gilt also |AB|=|BC|=|CD|=|AD|=6 LE

Das ist sehr schön begründet, und verrät auch eine sehr gutes Verständnis der räumlichen Geometrie, in einer Klausur würde ich das aber zur Sicherheit nochmal "vorrechnen".

> Da die z_koordinaten aller Punkte des Quadrats =0 sind und der
> Punkt auf der z-Achse liegt ist ABCDS eine quadratische
> Pyramide.

Dito ;-)

> b)
> E_ABS:x=(3/-3/0)+s(0/6/0)+t(-3/3/4)

[ok]

> Normalenform:
> 4x+3z=12

[ok]

> E_BCS:x=(3/3/0)+l(-6/0/0)+k(-3/-3/4)

[ok]

> Normalenform:
> 4y+3z=12

[ok]

> Schnittwinkel:
> 61,31°

Diesen Winkel habe ich nicht herausbekommen; ich habe gerechnet:

n1 = (4; 0; 3), n2 = (0; 4; 3)

cos(alpha) = n1 * n2 / ( |n1| * |n2| )
cos(alpha) = 9 / ( 5 * 5 )
cos(alpha) = 9 / 25
=> alpha = 68,9°


> c)Alle Seitenflächen haben denselben Abstand zum Nullpunkt da
> die Pyramide wie schon in a) beschreiben eine quadratische
> Pyramide ist die die Spitze auf der z-Achse, also "über" dem
> Nullpunkt hat.

Das sieht man auch schön, wenn man die Seiten-Ebenen in die Hesse'sche Normalenform überführt: Auf der "rechten" Seite steht dann immer dieselbe Zahl.

> d)Der Abstand beträgt 4,8 LE

[ok]

> Der Abstand zur Seitenfläche BCS ist wahrscheinlich länger als
> der Abstand zu Ebene da der Punkt der Ebene der am nächsten an
> A dran liegt außerhalb von BCS liegt.

Ja, das würde ich auch so sehen. Dieser Punkt, der ausserbalb des Dreiecks BCS liegt ist der Lotfußpunkt, denn das Lot stellt die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Ebene dar.

Den Abstand zwischen Punkt und Dreiecksfläche tatsächlich auszurechnen (was deswegen ja auch nicht gefordert ist) übersteigt --denke ich-- die Schulmathematik.

> Wahrscheinlich sind hier jetzt wahnsinnig viele Fehler drin,

Nö, kann ich nicht bestätigen :-)

> ich kann inzwischen nichtmal mehr 1/2 *1/2 oder so im Kopf
> ausrechen und hab mich hier bei der Aufgabe schon 1000 mal
> verrechnet.
> :-(
> Ich verzweifle gerade so ein bisschen, wahrscheinlich einfach
> zuviele Mathe heute. ;-)

Das denke ich auch. Da du morgen schreibst, ist es jetzt --denke ich-- wichtiger, du gehst ausgeruht und ausgeschlafen in die Klausur, als jetzt noch die letzten "Kniffe" beherrschen zu wollen.

Viel Erfolg,
Marc


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Bezug
Noch ne Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Do 15.05.2003
Autor: Lea

Hallo Marc,

danke für deine Hilfe!!!!!!
Das beruhigt mich ja jetzt doch ziemlich das die Aufgabe richtig ist.

Nochmal zu dem Schnittwinkel:

So ungefähr das gleich hab ich auch gerechnet, nur war bei mir bei der Multiplikation der Normalenvektoren 3*3 kurzzeitig 12 und nicht 9 :-)

Viele Grüße,
Lea

Bezug
                        
Bezug
Noch ne Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Do 15.05.2003
Autor: Stefan

Liebe Lea,

ich bin gerade erst wieder ins Büro gekommen. Leider konnte ich mich um dich heute nicht richtig kümmern. Wie ich aber sehe, wurdest du aber von Marc bestens betreut. (Übrigens sehr nett von ihm, da ich weiß, dass er selber vor Prüfungen steht und lernen muss. ;-))

Ansonsten kann ich Marc nur beipflichten: Geh mal besser schlafen, damit du morgen  ausgeschlafen bist!! :-)

Ich wünsche dir für morgen noch einmal alles erdenklich Gute und viel Erfolg!!!!

Ich hoffe du gehst dem Forum auch nach deinem Abi nicht verloren. So engagierte (und nette ;-)) "Mitstreiter(innen)" können wir hier im Forum in Zukunft bestens gebrauchen!!

Viele liebe Grüße
Stefan


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