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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Min. Poly. von nxn Matrixraum
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Min. Poly. von nxn Matrixraum: Idee/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Do 24.05.2012
Autor: Studi91

Aufgabe
Berechne das Minimalpolynom des Endomorphismus F: V [mm] \to [/mm] V; F(A) [mm] \mapsto A^{t}, [/mm] wobei V = [mm] M(nxn,\IR) [/mm] und [mm] n\ge1. [/mm] Dabei ist [mm] A^{t} [/mm] die zu A transponierte Matrix.

Ich habe Probleme dieses Minimalpolynom auszurechnen.
Ich habe mir gedacht, dass ich die Abbildung zur transponierten Matrix erst einmal vernachlässigen kann, denn es gilt ja [mm] det(A)=det(A^{t}). [/mm] Deswegen müssten sowohl das char. Polynom als auch das Minimalpolynom von A und [mm] A^{t} [/mm] übereinstimmen.
Da dieses Minimalpolynom offensichtlich allgemein gelten muss, bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass dann für alle [mm] n\ge1 [/mm] das Minimalpolynom und auch das char. Polynom ein bestimmtes "Muster" haben muss. Wahrscheinlich unterscheiden sich dort für verschiedene n nur die Exponenten. Also müsste dann auch die Abbildungsmatrix für [mm] n\ge1 [/mm] ein bestimmtes "Muster" haben. Doch komme ich leider nicht dahinter welches.
Sind meine überlegungen denn bisher richtig? Wäre für einen Tipp sehr dankbar,

Grüße

        
Bezug
Min. Poly. von nxn Matrixraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Fr 25.05.2012
Autor: fred97


> Berechne das Minimalpolynom des Endomorphismus F: V [mm]\to[/mm] V;
> F(A) [mm]\mapsto A^{t},[/mm] wobei V = [mm]M(nxn,\IR)[/mm] und [mm]n\ge1.[/mm] Dabei
> ist [mm]A^{t}[/mm] die zu A transponierte Matrix.
>  Ich habe Probleme dieses Minimalpolynom auszurechnen.
>  Ich habe mir gedacht, dass ich die Abbildung zur
> transponierten Matrix erst einmal vernachlässigen kann,
> denn es gilt ja [mm]det(A)=det(A^{t}).[/mm] Deswegen müssten sowohl
> das char. Polynom als auch das Minimalpolynom von A und
> [mm]A^{t}[/mm] übereinstimmen.


Du sollst das Minimalpolynom von F bestimmen !

>  Da dieses Minimalpolynom offensichtlich allgemein gelten
> muss,

Versthst Du diesen Satz ? Ich nicht.




> bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass dann für
> alle [mm]n\ge1[/mm] das Minimalpolynom und auch das char. Polynom
> ein bestimmtes "Muster" haben muss. Wahrscheinlich
> unterscheiden sich dort für verschiedene n nur die
> Exponenten. Also müsste dann auch die Abbildungsmatrix
> für [mm]n\ge1[/mm] ein bestimmtes "Muster" haben. Doch komme ich
> leider nicht dahinter welches.
>  Sind meine überlegungen denn bisher richtig?


Welche Überlegungen ?


>  Wäre für
> einen Tipp sehr dankbar,
>  
> Grüße


Erinnerung:

Das Minimalpolynom p von F ist das normierte Polynom kleinsten Grades , so dass p(F)=0 ist.

Wink mit Latte: für jede Matrix A ist [mm] (A^t)^t=A [/mm]

Mit dem Wink mit der Latte bekommst Du den Wink mit Zaunpfahl:
[mm] F^2=id_V [/mm]


und daraus (Wink mit Gartenzaun): [mm] F^2-id_V=0 [/mm]


Winke, winke FRED




Bezug
                
Bezug
Min. Poly. von nxn Matrixraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Fr 25.05.2012
Autor: Studi91

Okay danke ;)
Bezug
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