Maximum von Summe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Wahrscheinlich ist es nur heute schon zu spät, so dass ich nicht drauf komme, denn wahrscheinlich ist es gar nicht so schwierig. Und zwar habe ich die Summe:
[mm] \summe_{i=1}^k\log(n_i) [/mm]
mit der Eigenschaft:
[mm] \summe_{i=1}^kn_i=n [/mm]
Und meine Frage ist: Warum nimmt diese Summe das Maximum bei [mm] n_i=\bruch{n}{k} [/mm] an?
Wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte, oder einen Ansatz gibt, wie ich das "mathematisch beweisen" kann.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 Do 27.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
> Hallo zusammen!
>
> Wahrscheinlich ist es nur heute schon zu spät, so dass ich
> nicht drauf komme, denn wahrscheinlich ist es gar nicht so
> schwierig. Und zwar habe ich die Summe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^k\log(n_i)[/mm]
>
Umgeformt: [mm]\summe_{i=1}^k\log(n_i)=log \produkt_{i=1}^{k}n_i[/mm]
>
> mit der Eigenschaft:
>
> [mm]\summe_{i=1}^kn_i=n[/mm]
>
> Und meine Frage ist: Warum nimmt diese Summe das Maximum
> bei [mm]n_i=\bruch{n}{k}[/mm] an?
>
eingesetzt in die Formel oben ergibt sich damit fuer die [mm] Summe:log(\bruch{n}{k})^n=n*log\bruch{n}{k}
[/mm]
jetzt ist einfach zu zeigen,wenn du eines der n/k verkleinerst um r musst du ein anderes vergroessern also hast du noch [mm] :$(n-2)*log\bruch{n}{k}+log((\bruch{n}{k}+r)*(\bruch{n}{k}-r))$
[/mm]
noch zu zeigen [mm] $log((\bruch{n}{k}+r)*(\bruch{n}{k}-r))<2*log(\bruch{n}{k})$
[/mm]
ein anderer Weg, ist es die summe als Unter oder Obersumme eines Integrals zu betrachten, aber ich denk das wird laenger.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane,
Und zwar habe ich die Summe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^k\log(n_i)[/mm]
>
> mit der Eigenschaft:
>
> [mm]\summe_{i=1}^kn_i=n[/mm]
>
> Und meine Frage ist: Warum nimmt diese Summe das Maximum
> bei [mm]n_i=\bruch{n}{k}[/mm] an?
Wie wäre es mit der lagrange-multiplikator-methode? bietet sich eigentlich an, da du eine funktion unter einer nebenbedingung maximieren möchtest, nämlich
[mm] $f(x)=\summe_{i=1}^k\log(x_i)$
[/mm]
unter der nebenbedingung
[mm] $F(x)=\summe_{i=1}^k x_i=n$
[/mm]
die gradienten von f und F müssen in [mm] $x_m$ [/mm] (=Maximalstelle von f mit k Komponenten) notwendig parallel sein, also
[mm] $\nabla f(x_m)=\lambda\cdot \nabla F(x_m)$
[/mm]
Nun ist
[mm] $\nabla F(x)=\vektor{1\\ \vdots \\ 1}$ [/mm] konstant.
Weiter ist
[mm] $\nabla f(x)=\vektor{\frac1{x_1}\\ \vdots \\ \frac1{x_k} }$.
[/mm]
Damit die lagrange-bedingung erfüllt ist, müssen also alle Komponenten von [mm] $x_m$ [/mm] gleich sein [mm] (=$\frac [/mm] n k$).
Da die hessematrix von f in diesem Punkt offensichtlich negativ definit ist, haben wir ein Maximum. 
Gruß
Matthias
|
|
|
|
