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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizengleichung umformen
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Matrizengleichung umformen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:06 Mi 25.09.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Löse die Gleichung nach X auf.

AX - A = [mm] A^2 [/mm] - X  


Anmerkung E = Einheitsmatrix.

Auch wenn dies nicht in der Aufgabe stand, soll sicher gelten:  (A + E) ist invertierbar.



Moin,

ich habe eine Frage zu der Umformung...

1. Schritt
AX - A = [mm] A^2 [/mm] - X     |  +X + A

AX + X = [mm] A^2 [/mm] + A


2. Schritt

X*(A + E)  = A*(A + E)      


3. Schritt  

X*(A + E)  = A*(A + E)  |  *(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


X*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


X = A.


Wenn ich nun aber so umforme, also nicht darauf komme, dass ich auf der rechten Seite A ausklammern kann...komme ich dann zur Lösung?


2. Schritt

X*(A + E)  = [mm] A^2 [/mm] + A      | *(A + [mm] E)^{-1} [/mm]

X*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]  = [mm] (A^2 [/mm] + A)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


X = [mm] (A^2 [/mm] + A)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]

X = [mm] A^2*(A [/mm] + [mm] E)^{-1} [/mm]  + A*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


???



Danke & Gruß!!



        
Bezug
Matrizengleichung umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Mi 25.09.2019
Autor: statler

Hallo,
ich fange mal ganz vorne mit der Kritik an:
Die Mehrzahl von Matrix ist Matrizen.

> Löse die Gleichung nach X auf.
>  
> AX - A = [mm]A^2[/mm] - X  
>
>
> Anmerkung E = Einheitsmatrix.
>  Moin,
>  
> ich habe eine Frage zu der Umformung...
>
> 1. Schritt
> AX - A = [mm]A^2[/mm] - X     |  +X + A
>  
> AX + X = [mm]A^2[/mm] + A
>
>
> 2. Schritt
>
> X*(A + E)  = A*(A + E)      

Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, mußt du auf der linken Seite der Gleichung nach rechts ausklammern, auf der rechten Seite ist es egal:

(A + E) [mm] \cdot [/mm] X = A [mm] \cdot [/mm] (A + E) = (A + E) [mm] \cdot [/mm] A

> 3. Schritt  
>
> X*(A + E)  = A*(A + E)  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]

Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das steht nirgends.

> X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]

Wenn es invertierbar ist, dann folgt

X = A.

> Wenn ich nun aber so umforme, also nicht darauf komme, dass
> ich auf der rechten Seite A ausklammern kann...komme ich
> dann zur Lösung?

Das ist ja formal eine in X lineare Gleichung, und die löst man eben durch Sortieren, Ausklammern und Teilen, das ist sozusagen handwerkliches Wissen ohne Geistesblitze.

Um den hier verdrängten Fall mit A + E singulär zu beleuchten, kannst du dir ja mal ein einfaches Beispiel dazu mit (2x2-Matrizen) überlegen.

Es gibt dann auch noch so Wunderdinge wie Pseudo-Inverse.

Gruß aus HH
Dieter


Bezug
                
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Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Do 26.09.2019
Autor: hase-hh

Moin

> Hallo,
>  ich fange mal ganz vorne mit der Kritik an:
>  Die Mehrzahl von Matrix ist Matrizen.

Danke für den Hinweis -> korrigiert. ^^


1. Schritt  "Sortieren", d.h. alle Summanden mit X auf die eine Seite, alle Summanden ohne X auf die andere Seite

AX - A = [mm]A^2[/mm] - X     |  +X + A
  
AX + X = [mm]A^2[/mm] + A

2. Schritt   Ausklammern

> Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, mußt
> du auf der linken Seite der Gleichung nach rechts
> ausklammern, auf der rechten Seite ist es egal:
>  
> (A + E) [mm]\cdot[/mm] X = A [mm]\cdot[/mm] (A + E) = (A + E) [mm]\cdot[/mm] A


(A + E)*X  = (A + E)*A

  
3. Schritt  

(A + E)*X  = (A + E)*A  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  von links
  

> Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das
> steht nirgends.

Richtig, diese Information stand nirgends, soll m.E. aber implizit gelten. -> ergänzt. ^^


(A + [mm] E)^{-1}*(A [/mm] + E)*X  = (A + [mm] E)^{-1}*(A [/mm] + E)*A


> Wenn es invertierbar ist, dann folgt

  
X = A.

> Das ist ja formal eine in X lineare Gleichung, und die
> löst man eben durch Sortieren, Ausklammern und Teilen, das
> ist sozusagen handwerkliches Wissen ohne Geistesblitze.

  
Alles klar!

Bezug
                        
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Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Do 26.09.2019
Autor: HJKweseleit


> 3. Schritt  
>
> (A + E)*X  = (A + E)*A  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  von links machst du dann aber gar nicht!
>    
> > Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das
> > steht nirgends.
>  
> Richtig, diese Information stand nirgends, soll m.E. aber
> implizit gelten. -> ergänzt. ^^
>  
>
> X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
>  


Bezug
                                
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Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:44 Do 26.09.2019
Autor: hase-hh

Moin,

> > 3. Schritt  
> >
> > (A + E)*X  = (A + E)*A  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  von links machst
> du dann aber gar nicht!
>  >    
> >
> > X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
>  >  

Ich hoffe, so ist es besser... ^^  


(A + $ [mm] E)^{-1}\cdot{}(A [/mm] $ + E)*X  = (A + $ [mm] E)^{-1}\cdot{}(A [/mm] $ + E)*A


X = A



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Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Sa 28.09.2019
Autor: HJKweseleit

Ja, das ist okay.

Bei dieser Aufgabe kommt auch bei falschem Vorgehen das Richtige heraus, aber das ist nur ausnahmsweise der Fall. Grundsätzlich gilt das Kommutativgesetz für [mm] A*A^{-1}=A^{-1}*A [/mm] sowie A*E=E*A und sonst nur für "Spezialfälle" wie bei deinem Problem.

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