www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizengleichung umformen
Matrizengleichung umformen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrizengleichung umformen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:06 Mi 25.09.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Löse die Gleichung nach X auf.

AX - A = [mm] A^2 [/mm] - X  


Anmerkung E = Einheitsmatrix.

Auch wenn dies nicht in der Aufgabe stand, soll sicher gelten:  (A + E) ist invertierbar.



Moin,

ich habe eine Frage zu der Umformung...

1. Schritt
AX - A = [mm] A^2 [/mm] - X     |  +X + A

AX + X = [mm] A^2 [/mm] + A


2. Schritt

X*(A + E)  = A*(A + E)      


3. Schritt  

X*(A + E)  = A*(A + E)  |  *(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


X*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


X = A.


Wenn ich nun aber so umforme, also nicht darauf komme, dass ich auf der rechten Seite A ausklammern kann...komme ich dann zur Lösung?


2. Schritt

X*(A + E)  = [mm] A^2 [/mm] + A      | *(A + [mm] E)^{-1} [/mm]

X*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]  = [mm] (A^2 [/mm] + A)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


X = [mm] (A^2 [/mm] + A)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]

X = [mm] A^2*(A [/mm] + [mm] E)^{-1} [/mm]  + A*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]


???



Danke & Gruß!!



        
Bezug
Matrizengleichung umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Mi 25.09.2019
Autor: statler

Hallo,
ich fange mal ganz vorne mit der Kritik an:
Die Mehrzahl von Matrix ist Matrizen.

> Löse die Gleichung nach X auf.
>  
> AX - A = [mm]A^2[/mm] - X  
>
>
> Anmerkung E = Einheitsmatrix.
>  Moin,
>  
> ich habe eine Frage zu der Umformung...
>
> 1. Schritt
> AX - A = [mm]A^2[/mm] - X     |  +X + A
>  
> AX + X = [mm]A^2[/mm] + A
>
>
> 2. Schritt
>
> X*(A + E)  = A*(A + E)      

Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, mußt du auf der linken Seite der Gleichung nach rechts ausklammern, auf der rechten Seite ist es egal:

(A + E) [mm] \cdot [/mm] X = A [mm] \cdot [/mm] (A + E) = (A + E) [mm] \cdot [/mm] A

> 3. Schritt  
>
> X*(A + E)  = A*(A + E)  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]

Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das steht nirgends.

> X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]

Wenn es invertierbar ist, dann folgt

X = A.

> Wenn ich nun aber so umforme, also nicht darauf komme, dass
> ich auf der rechten Seite A ausklammern kann...komme ich
> dann zur Lösung?

Das ist ja formal eine in X lineare Gleichung, und die löst man eben durch Sortieren, Ausklammern und Teilen, das ist sozusagen handwerkliches Wissen ohne Geistesblitze.

Um den hier verdrängten Fall mit A + E singulär zu beleuchten, kannst du dir ja mal ein einfaches Beispiel dazu mit (2x2-Matrizen) überlegen.

Es gibt dann auch noch so Wunderdinge wie Pseudo-Inverse.

Gruß aus HH
Dieter


Bezug
                
Bezug
Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Do 26.09.2019
Autor: hase-hh

Moin

> Hallo,
>  ich fange mal ganz vorne mit der Kritik an:
>  Die Mehrzahl von Matrix ist Matrizen.

Danke für den Hinweis -> korrigiert. ^^


1. Schritt  "Sortieren", d.h. alle Summanden mit X auf die eine Seite, alle Summanden ohne X auf die andere Seite

AX - A = [mm]A^2[/mm] - X     |  +X + A
  
AX + X = [mm]A^2[/mm] + A

2. Schritt   Ausklammern

> Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, mußt
> du auf der linken Seite der Gleichung nach rechts
> ausklammern, auf der rechten Seite ist es egal:
>  
> (A + E) [mm]\cdot[/mm] X = A [mm]\cdot[/mm] (A + E) = (A + E) [mm]\cdot[/mm] A


(A + E)*X  = (A + E)*A

  
3. Schritt  

(A + E)*X  = (A + E)*A  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  von links
  

> Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das
> steht nirgends.

Richtig, diese Information stand nirgends, soll m.E. aber implizit gelten. -> ergänzt. ^^


(A + [mm] E)^{-1}*(A [/mm] + E)*X  = (A + [mm] E)^{-1}*(A [/mm] + E)*A


> Wenn es invertierbar ist, dann folgt

  
X = A.

> Das ist ja formal eine in X lineare Gleichung, und die
> löst man eben durch Sortieren, Ausklammern und Teilen, das
> ist sozusagen handwerkliches Wissen ohne Geistesblitze.

  
Alles klar!

Bezug
                        
Bezug
Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Do 26.09.2019
Autor: HJKweseleit


> 3. Schritt  
>
> (A + E)*X  = (A + E)*A  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  von links machst du dann aber gar nicht!
>    
> > Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das
> > steht nirgends.
>  
> Richtig, diese Information stand nirgends, soll m.E. aber
> implizit gelten. -> ergänzt. ^^
>  
>
> X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
>  


Bezug
                                
Bezug
Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:44 Do 26.09.2019
Autor: hase-hh

Moin,

> > 3. Schritt  
> >
> > (A + E)*X  = (A + E)*A  |  *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  von links machst
> du dann aber gar nicht!
>  >    
> >
> > X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]  = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
>  >  

Ich hoffe, so ist es besser... ^^  


(A + $ [mm] E)^{-1}\cdot{}(A [/mm] $ + E)*X  = (A + $ [mm] E)^{-1}\cdot{}(A [/mm] $ + E)*A


X = A



Bezug
                                        
Bezug
Matrizengleichung umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Sa 28.09.2019
Autor: HJKweseleit

Ja, das ist okay.

Bei dieser Aufgabe kommt auch bei falschem Vorgehen das Richtige heraus, aber das ist nur ausnahmsweise der Fall. Grundsätzlich gilt das Kommutativgesetz für [mm] A*A^{-1}=A^{-1}*A [/mm] sowie A*E=E*A und sonst nur für "Spezialfälle" wie bei deinem Problem.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]