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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:44 Di 15.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr!
Ich habe irgendwie den Überblick verloren und wollte euch bitten, mir so kurz wie möglich (wirklich erstmal nur in gaaanz wenigen Sätzen) ein paar Sachen zu sagen bzw. Zusammenhänge zu erklären.
Ich sag jetzt mal, was ich hier so alles gerade in meinem Kopf habe, vielleicht kann man daraus ja dann was zusammenfassen:
Also, es gibt [mm] \sigma\mbox{-Algebren} [/mm] - wie die definiert sind, das weiß ich. Dann gibt es auch noch Algebren (ohne das [mm] \sigma). [/mm] Ist das richtig, dass der Unterschied zwischen beiden nur darin liegt, dass bei [mm] \sigma\mbox{-Algebren} [/mm] für die Eigenschaft mit der Vereinigung abzählbare Mengen gefordert sind und es bei Algebren für beliebige Mengen gilt?
Dann gibt es noch Maße - deren Definition kenne ich auch. Dann gibt es aber auch noch Prämaße. und bisher habe ich den Unterschied noch nicht herausgefunden. Bei meiner Definition sieht es so aus, als wäre das exakt das Gleiche. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Und dann gibt es auch noch äußere Maße und innere Maße - die Definitionen habe ich auch. Aber wofür braucht man denn noch solche Maße? Die Eigenschaften sind doch sehr ähnlich - warum dann alles extra definieren? Oder wo gibt es da einen wichtigen Zusammenhang zwischen all dem?
Ich hoffe, meine Bitte ist verständlich, ansonsten fragt nochmal nach, dann versuche ich es anders zu formulieren. Bitte wirklich nicht viel, nur erstmal ganz grob die Zusammenhänge/den Überblick. Was ich dann genauer wissen möchte, frage ich dann nach. Die Einzelheiten stehen ja auch überall in Büchern und im Netz, aber das ist mir eben zu viel um den Überblick zu haben.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Di 15.03.2005 | | Autor: | Kathka |
Also ersteinmal zum Unterschied zwischen $ [mm] \sigma\mbox{-Algebren} [/mm] $ und Algebren.
Der Unterschied beruht nur darauf, dass bei einer $ [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] $ die Vereinigung unendlich vieler Mengen aus der $ [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] $ wieder in ihr enthalten sind. Bei einer Algebra wird es nur für endlich viele Mengen gefordert. Demnach ist jede $ [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] $ auch eine Algebra.
Der Unterschied zwischen Maßen und Prämaßen beruht auf der Menge, auf welcher sie definiert sind. Ein Prämaß ist auf einem Ring bzw. einer Algebra definiert und es gilt:
Jedes auf einer $ [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] $ definierte Prämaß, heißt Maß.
(So steht es bei mir im Hefter.)
Um auf deine Frage mit inneren und äusseren Maßen antworten zu können, müsste ich mich erst damit beschäftigen, ich hoffe, da kann jemand anderes weiter helfen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 15.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Kahtka und alle anderen!
Danke schon mal für die Antwort!  Das heißt doch dann, dass eine Algebra "weniger" ist als eine [mm] \sigma\mbox{-Algebra}, [/mm] oder?
Und was genau macht es für einen Unterschied, ob ein Maß nun auf einer Algebra oder einer [mm] \sigma\mbox{-Algebra} [/mm] definiert ist - also ein Maß oder ein Prämaß ist? Ob mir da jemand ein kurzes einfaches Beispiel geben könnte?
So, und was ich dann noch vergessen habe zu fragen:
Was hat es mit dem Satz von Carathéodory auf sich? Ich glaube, es gibt da mehrere Sätze, die aber nicht alle mit diesem Thema hier zu tun haben. In meiner Mitschrift steht einmal was komisches unter der Überschrift "Existenzsatz von Carathéodory". Damit kann ich allerdings nicht wirklich viel anfangen. Im Netz habe ich nun noch folgendes gefunden:
"Jedes Prämaß auf einer Algebra lässt sich fortsetzen zu einem
Maß auf der von der Algebra erzeugten [mm] \sigma\mbox{-Algebra}."
[/mm]
Ob das wohl mit unserem Existenzsatz gemeint war?
Und dann habe ich hier noch folgendes stehen:
Satz: Geg. [mm] \mu_0\; \sigma\mbox{-endliches} [/mm] Prämaß auf Algebra [mm] \cal{A} \Rightarrow \exists! [/mm] Maß [mm] \mu [/mm] auf [mm] \sigma(\cal{A}) [/mm] mit [mm] \mu|_{\cal{A}}=\mu_0
[/mm]
Kann mir das mal jemand kurz in Worte fassen? (Evtl. auch kurz noch die Beweisidee, aber nur in Worten. Ich glaube nämlich, dass wir das hier nachher auch bewiesen haben, aber irgendwie haben wir das komisch aufgeschrieben...)
Ich glaub', das war's ansonsten erstmal... (Auch wenn ich leider noch längst nicht alles verstehe...)
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 15.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
probiere ich mich mal an einer antwort:
> Danke schon mal für die Antwort! Das heißt doch dann,
> dass eine Algebra "weniger" ist als eine
> [mm]\sigma\mbox{-Algebra},[/mm] oder?
genau. es gilt
[m] \mathcal{A} [/m] [mm] $\sigma$-algebra $\Longrightarrow$[/mm] [m] \mathcal{A} [/m] algebra,
die umgekehrte richtung aber im allgemeinen nicht. ein beispile, das eine algebra, jedoch keine [mm] $\sigma$-algebra [/mm] ist (sorry, ein anschaulichers beispiel fällt mir derzeit nicht ein) ist folgendes:
sei [mm] $\Omega$ [/mm] eine abzählbar-unendliche menge und [mm] $\mathcal{A} [/mm] := [mm] \{ A \subset \Omega : A \textrm{ oder } A^\complement \textrm{ ist endlich} \}$. [/mm] dann ist [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] eine algebra, jedoch keine [mm] $\sigma$-algebra [/mm] (du kannst das für [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \mathbb{N}$ [/mm] ja mal nachrechnen - vielleicht werden dir dann die eigenschaften klarer).
> Und was genau macht es für einen Unterschied, ob ein Maß
> nun auf einer Algebra oder einer [mm]\sigma\mbox{-Algebra}[/mm]
> definiert ist - also ein Maß oder ein Prämaß ist? Ob mir da
> jemand ein kurzes einfaches Beispiel geben könnte?
bei maßen taucht ja der begriff der [mm] $\sigma$-additivtät [/mm] auf, wenn man also abzählbar viele disjunkte mengen aus dem definitionsbereich des maßes nimmt, dann ist das maß der vereinigng gleich der reihe über die maße der einzelmengen. damit diese aussage sinnvoll ist muss das maß natürlich auch auf der vereinigungsmenge dieser abzählbar vielen mengen definiert sein. damit man dies nicht immer explizit fordern muss zieht man sich im allgemeinen auf mengen-systeme zurück die eben die schöne eigenschaft haben, das die abzählbare vereinigung von mengen aus ihnen wieder in ihn liegt - und das sind nun mal [mm] $\sigma$-algebren!
[/mm]
wenn du z.b. den elementar-geometrischen inhalt auf dem system der elementar-geometrischen figuren (dies sind einfach endliche vereinigungen von würfeln im [mm] $\mathbb{R}^d$) [/mm] betrachtest, also einfach den inhalt dieser gebilde, so ist auf diesem system dadurch ein maß gegeben. mit abzählbar vielen rechtecken kannst du im [m] \mathbb{R}^2 [/m] aber auch einen kreis ausfüllen, jedoch ist der elementargeometrische inhalt für diese figur nicht mehr definiert. deshalb bemüht man sich eine [mm] $\sigma$-algebra [/mm] zu finden, die die elementar-geometrischen figuren enthält umd auf der sich der elementar-geometrische inhalt zu einem maß fortsetzen lässt.
> So, und was ich dann noch vergessen habe zu fragen:
> Was hat es mit dem Satz von Carathéodory auf sich? Ich
> glaube, es gibt da mehrere Sätze, die aber nicht alle mit
> diesem Thema hier zu tun haben. In meiner Mitschrift steht
> einmal was komisches unter der Überschrift "Existenzsatz
> von Carathéodory". Damit kann ich allerdings nicht wirklich
> viel anfangen. Im Netz habe ich nun noch folgendes
> gefunden:
> "Jedes Prämaß auf einer Algebra lässt sich fortsetzen
> zu einem
> Maß auf der von der Algebra erzeugten
> [mm]\sigma\mbox{-Algebra}."
[/mm]
> Ob das wohl mit unserem Existenzsatz gemeint war?
so ähnlich kenne ich diesen satz auch (zu dieser fortsetzung benötigt man auch die von dir oben angesprochenen äußeren und inneren maße)
> Und dann habe ich hier noch folgendes stehen:
> Satz: Geg. [mm]\mu_0\; \sigma\mbox{-endliches}[/mm] Prämaß auf
> Algebra [mm]\cal{A} \Rightarrow \exists![/mm] Maß [mm]\mu[/mm] auf
> [mm]\sigma(\cal{A})[/mm] mit [mm]\mu|_{\cal{A}}=\mu_0
[/mm]
das ist ein eindeutigkeitssatz zu dem existenzsatz von carathéodory: dieser liefert dir nämlich die existenz einer solchen fortsetzung und die [mm] $\sigma$-endlichkeit [/mm] des prämaßees garantiert, dass die fortsetzung eindeutig ist.
ich hoffe das hilft dir erstmal weiter.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Andreas!
Ich hatte mich ja noch gar nicht wirklich für deine Antworten hier bedankt. Sorry, aber ich habe mich erst jetzt nochmal in dieses Thema eingedacht - danke.
> [m]\mathcal{A}[/m] [mm]\sigma[/mm]-algebra [mm]\Longrightarrow[/mm] [m]\mathcal{A}[/m]
> algebra,
>
> die umgekehrte richtung aber im allgemeinen nicht. ein
> beispile, das eine algebra, jedoch keine [mm]\sigma[/mm]-algebra ist
> (sorry, ein anschaulichers beispiel fällt mir derzeit nicht
> ein) ist folgendes:
> sei [mm]\Omega[/mm] eine abzählbar-unendliche menge und [mm]\mathcal{A} := \{ A \subset \Omega : A \textrm{ oder } A^\complement \textrm{ ist endlich} \}[/mm].
> dann ist [mm]\mathcal{A}[/mm] eine algebra, jedoch keine
> [mm]\sigma[/mm]-algebra (du kannst das für [mm]\Omega = \mathbb{N}[/mm] ja
> mal nachrechnen - vielleicht werden dir dann die
> eigenschaften klarer).
Also, das wollte ich jetzt mal versuchen, aber irgendwie schaffe ich es nicht so ganz.
Also erstmal zu der Menge [mm] \mathcal{A}. [/mm] Darin nicht enthalten ist doch z. B. die Menge aller geraden Zahlen, denn das Komplement wäre ja die Menge aller ungeraden Zahlen und das ist beides unendlich. Aber es wäre doch z. B. die Menge [mm] \{1,2\} [/mm] enthalten und somit auch die Menge [mm] \{3,4,5,...\}. [/mm] (Ist [mm] \mathcal{A} [/mm] eigentlich die Menge aller solcher Mengen?) Jedenfalls wäre doch in diesem Beispiel auch die Vereinigung drin, denn das wäre ja ganz [mm] \IN. [/mm] Nun müsste ich doch aber zeigen, dass eine unendliche Vereinigung nicht mehr drin ist, oder? Aber wie kann ich das denn machen? Irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, welche Menge dann nicht enthalten sein könnte... Ob du mir auf die Sprünge helfen könntest und das vielleicht etwas "vorrechnen"?
Mmh, also jetzt beim Durchlesen kommt mir eine Idee:
Wenn ich vielleicht alle geraden Zahlen entweder einzeln oder in Zweierpärchen oder wie auch immer in diese Menge stecke und dann alle diese vereinige, wäre die Vereinigung ja die Menge aller geraden Zahlen, und die wäre ja nicht mehr drin. Ob das so richtig ist?
Viele Grüße
Bastiane
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Guten Morgen Bastiane!
Du bist auf der richtigen Spur... genau das, was Du vermutet hast, ist die Idee.
Tatsächlich ist das angegebene Mengensystem immer eine Algebra, aber falls [mm] $\Omega$ [/mm] unendlich gross ist, nie eine [mm] $\varsigma$-Algebra. [/mm] Das Beispiel mit den geraden Zahlen zeigt es.
Allgemein formuliert: ist [mm] $|\Omega| [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] so existiert eine abzählbare Menge $A [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] mit $A [mm] \notin \mathcal{A}$. [/mm] Die Menge $A$ ist also (abzählbar) unendlich und ihr Komplement ist ebenfalls unendlich (vielleicht nicht unbedingt abzählbar). (Ist Dir klar, warum es so etwas bei unendlichem [mm] $\Omega$ [/mm] immer gibt?)
Da $A$ abzählbar ist, gibt es zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein Element [mm] $a_n \in \Omega$ [/mm] mit $A = [mm] \bigcup_{n \in \IN} \{ a_n\}$. [/mm] Aber [mm] $\{ a_n \} \in \mathcal{A}$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] also ist $A$ abzählbare Vereinigung von Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] liegt aber selbst nicht drin.
Weiterhin noch viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hab' hier nun noch folgendes stehen:
Bsp.: [mm] (\IR,\cal{B}(\IR),\lambda) [/mm] ist nicht vollständig!
Sei [mm] (\IR,\cal{B}',\lambda') [/mm] die Vervollständigung
[mm] \lambda' [/mm] heißt Lebesgue-Maß, die Mengen in [mm] \cal{B}' [/mm] heißen Lebesgue-messbar. Es gilt: [mm] \cal{B}(\IR) \subset\not=\cal{B}'\subset\not=\cal{P}(\IR) [/mm] (das [mm] \subset\not= [/mm] soll heißen, dass es eine echte Teilmenge ist, also nicht gleich!!! und der Strich "'" sollte eigentlich ein Sternchen sein...).
Ich nehme an, das soll der Beweis dafür sein, dass [mm] (\IR,\cal{B}(\IR),\lambda) [/mm] nicht vollständig ist. Allerdings verstehe ich nicht, wieso das damit bewiesen sein soll... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Vielleicht kann mir das jemand kurz mit Worten erklären.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mi 16.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi Bastiane
> Bsp.: [mm](\IR,\cal{B}(\IR),\lambda)[/mm] ist nicht vollständig!
> Sei [mm](\IR,\cal{B}',\lambda')[/mm] die Vervollständigung
> [mm]\lambda'[/mm] heißt Lebesgue-Maß, die Mengen in [mm]\cal{B}'[/mm] heißen
> Lebesgue-messbar. Es gilt: [mm]\cal{B}(\IR) \subset\not=\cal{B}'\subset\not=\cal{P}(\IR)[/mm]
> (das [mm]\subset\not=[/mm] soll heißen, dass es eine echte Teilmenge
> ist, also nicht gleich!!! und der Strich "'" sollte
> eigentlich ein Sternchen sein...).
> Ich nehme an, das soll der Beweis dafür sein, dass
> [mm](\IR,\cal{B}(\IR),\lambda)[/mm] nicht vollständig ist.
> Allerdings verstehe ich nicht, wieso das damit bewiesen
> sein soll...
>
> Vielleicht kann mir das jemand kurz mit Worten erklären.
>
also probiere ich es mal: man kann zeigen, dass die vervollständigung eines maßraums die kleinste vollständige fortsetzung ist. also ist ein maßraum genau dann vollständig, wenn er seiner vervollständigung entspricht, d.h. man muss keine mengen mehr hinzunehmen, um den maßraum zu vervollständigen. hier gilt aber
[m] \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subsetneq \mathcal{B}' [/m],
also ist die vervollständigung echt größer und somit kann [m] ( \mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R}), \lambda ) [/m] noch nicht vollständig gewesen sein. um die ungleichheit zwischen $ [mm] \mathcal{B}(\mathbb{R}) [/mm] $ und [mm] $\mathcal{B}'$ [/mm] zu zeigen, benutzt man z.b. - glaube ich - eine nicht borel-messbare teilmenge des cantor'schen diskontinuums. die konstruktion habe ich aber gerade nicht im kopf. um die ungleichheit [m] \mathcal{B}' \not= \mathcal{P} (\mathbb{R}) [/m] zu zeigen benötigt man das auswahlaxiom!
ich hoffe das hilft erstmal weiter, wenn nicht frage nach.
grüße
andreas
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![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]"){kind=small}
Gnometech!
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
