Mächtigkeit von Mengen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Definition: Zwei Mengen, X, Y heißen von gleicher Mächtigkeit, wenn es eine eineindeutige Abbildung A: [mm] X\to [/mm] Y gibt, mit: D(A)=X, B(A)=Y. Eine Abbildung [mm] A:X\to [/mm] Y heißt eineindeutig, wenn aus A(x)=A(x') stets folgt: x=x'.
Hallo, die Definition ist mir, denke ich klar. Probleme habe ich bei folgender Anwendung:
Die Mengen [mm] X=\IR, Y=(a,b)\subset\IR [/mm] sind von gleicher Mächtigkeit. Wir wählen etwa für A die Abbildung, welche man durch Hintereinanderschalten der Projektionen [mm] x\to{P(x)}\to{A(x)} [/mm] gemäß der folgenden Abbildung erhält:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Marcel] Edit: Bild editiert, verkleinert!
@Axiom: Das Bild war einfach zu groß, da hat sicher keiner Lust, rumzuscrollen. Deswegen habe ich das so gemacht!
Ich verstehe nicht wirklich, was diese Abbildung mir sagen möchte, von welcher Art A und P also sein sollen. Vielleicht kann mir das ja jemand erläutern.
Viele Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Definition: Zwei Mengen, X, Y heißen von gleicher
> Mächtigkeit, wenn es eine eineindeutige Abbildung A: [mm]X\to[/mm]
> Y gibt, mit: D(A)=X, B(A)=Y. Eine Abbildung [mm]A:X\to[/mm] Y heißt
> eineindeutig, wenn aus A(x)=A(x') stets folgt: x=x'.
>
> Hallo, die Definition ist mir, denke ich klar. Probleme
> habe ich bei folgender Anwendung:
>
> Die Mengen [mm]X=\IR, Y=(a,b)\subset\IR[/mm] sind von gleicher
> Mächtigkeit. Wir wählen etwa für A die Abbildung, welche
> man durch Hintereinanderschalten der Projektionen
> [mm]x\to{P(x)}\to{A(x)}[/mm] gemäß der folgenden Abbildung
> erhält:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [Marcel] Edit: Bild editiert, verkleinert!
> @Axiom: Das Bild war einfach zu groß, da hat sicher
> keiner Lust, rumzuscrollen. Deswegen habe ich das so
> gemacht!
> Ich verstehe nicht wirklich, was diese Abbildung mir sagen
> möchte, von welcher Art A und P also sein sollen.
> Vielleicht kann mir das ja jemand erläutern.
ja, gute Frage. Ich mag's auch nicht, wenn man raten muss, welche
Abbildungen da wohl gemeint sind. Warum hat der Autor sie nicht einfach
hingeschrieben, oder wenigstens erklärt, welche Projektionen er meint:
Er meint sicher keine Projektion [mm] $\IR \to \IR$... [/mm] sondern irgendwie
eine Projektion $M [mm] \subseteq \IR^2$ [/mm] auf "die [mm] $x\,$-Achse", [/mm] welche er mit
[mm] $\IR$ [/mm] identifiziert.
Übrigens: Eineindeutig besagt hier nichts anderes wie injektiv.
Ich würde Dir aber gerne erstmal auf anderem Wege erklären, warum
[mm] $\IR$ [/mm] gleichmächtig zu [mm] $(a,b)\,$ [/mm] ist, falls $a < [mm] b\,:$
[/mm]
Zunächst betrachten wir die Abbildung
$$g: (0,1) [mm] \to [/mm] (a,b)$$
definiert durch [mm] $g(x)=a+x*(b-a)\,.$
[/mm]
Offenbar ist [mm] $g\,$ [/mm] eine Bijektion (nachrechnen!). Weil die Verknüpfung
von endlich vielen ("zusammenpassenden") Bijektionen wieder eine
Bijektion ergibt, reicht es also, nachzuweisen, dass [mm] $\IR$ [/mm] gleichmächtig
zu [mm] $(0,1)\,$ [/mm] ist. (Denn dann finden wir eine Bijektion [mm] $\IR \to (0,1)\,,$)
[/mm]
Man könnte nun einfach $f: [mm] \IR \to [/mm] (0,1)$ so definieren:
[mm] $$f(x):=\frac {\arctan(x)} {\pi} +\frac [/mm] 1 2$$
Im Prinzip kann man sich aber auch andere Funktionen basteln - vor allem,
weil so manch' einer nun sagen wird: "Boah, da braucht man ja schon den
Arkustangens".
Aber "naheliegend" ist es eigentlich, erstmal eine Funktion [mm] $\tilde{f}\,$ [/mm]
mit folgenden Eigenschaften zu basteln:
1.) [mm] $\tilde{f}\,$ [/mm] soll ungerade sein: [mm] $\tilde{f}(-x)=\tilde{f}(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
2.) Insbesondere wollen wir also [mm] $\tilde{f}(0)=0\,,$ [/mm] wir fordern aber auch:
Es soll gelten: [mm] $\tilde{f}([0,\infty))=[0,1)\,$
[/mm]
3.) [mm] $\tilde{f}\,$ [/mm] soll streng wachsend und stetig sein mit
[mm] $\lim_{x \to \infty}\tilde{f}(x)=1\,.$
[/mm]
Sowas kann man relativ leicht angeben:
Setze zunächst einfach [mm] $\tilde{f}(x):=x/(1+|x|)\,$ [/mm] für $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann
sind 2.) und 3.) erfüllt. Wegen 1.) könnten wir nun sagen, wir definieren:
[mm] $\tilde{f}(-x):=-\tilde{f}(x)\,$ [/mm] für $x > [mm] 0\,.$
[/mm]
Schauen wir uns aber mal die definierende Gleichung
[mm] $\tilde{f}(x)=x/(1+|x|)$ [/mm] an, so sehen wir, dass, wenn wir $x [mm] \in \IR$ [/mm] dort
zulassen, [mm] $\tilde{f}$ [/mm] eh ungerade ist.
Warum bringt das was? Nunja:
Jetzt definiert man
[mm] $$f(x):=\frac{\tilde{f}(x)}{2}+\frac{1}{2}\,,$$
[/mm]
und ist fertig.
Beim Arkustangens ist die Idee eigentlich ähnlich, nur ist der Arkustangens
halt eine Bijektion [mm] $\IR \to (-\pi/2,\;\pi/2)\,.$ [/mm] (Da könnte schon wieder jmd.
sagen: "Krass... da muss man ja erstmal dieses komische [mm] $\pi$ [/mm] kennen!")
Entsprechend muss das Intervall [mm] $(-\pi/2,\;\pi/2)\,,$ [/mm] welches ja die Länge
[mm] $\pi/2-(\pi/2)=\pi$ [/mm] hat, auf ein Intervall der Länge [mm] $1\,$ [/mm] gebracht werden,
und da nun
$$x [mm] \mapsto \frac{\arctan(x)}{\pi}$$
[/mm]
aber "nur" eine Bijektion [mm] $\IR \to (-1/2,\;1/2)$ [/mm] wäre, ist es sinnvoll, noch
[mm] $1/2\,$ [/mm] draufzuaddieren:
$$x [mm] \mapsto \frac{\arctan(x)}{\pi}+\frac{1}{2}$$
[/mm]
ist also eine Bijektion [mm] $\IR \to (0,1)\,.$
[/mm]
Und warum hilft uns diese Bastelei eigentlich, um zu erkennen, dass [mm] $\IR$
[/mm]
gleichmächtig zu [mm] $(a,b)\,$ [/mm] ist? Wie gesagt: Verknüpfungen
("zusammenpassender") Bijektion sind bijektiv.
Wir haben oben eine Bijektion $g: (0,1) [mm] \to (a,b)\,$ [/mm] direkt angegeben:
$$g(x)=a+x*(b-a)$$
Es existiert also eine Bijektion $g: (0,1) [mm] \to (a,b)\,.$
[/mm]
(Ist eigentlich einfach: Im Wesentlichen steht da ja nur eine
Geradengleichung - wir betrachten halt nicht die ganze Gerade!)
Weiterhin haben wir eine Bijektion $f: [mm] \IR \to [/mm] (0,1)$ gefunden:
[mm] $$f(x)=\frac{x}{2*(1+|x|)}+\frac [/mm] 1 2 [mm] \,.$$
[/mm]
Es existiert also eine Bijektion $f: [mm] \IR \to (0,1)\,.$
[/mm]
Zusammengebastelt:
$g [mm] \circ [/mm] f$ ist eine Bijektion [mm] $\IR \to (a,b)\,.$
[/mm]
Das beantwortet zwar nicht direkt Deine Frage, klärt aber hoffentlich,
warum [mm] $\IR$ [/mm] glm. zu [mm] $(a,b)\,$ [/mm] ist!
P.S.
Was ist eigentlich oben $D(A)$? Der Definitionsbereich von $A: X [mm] \to [/mm] Y$?
Aber wenn $A: X [mm] \to [/mm] Y$ ist, dann ist doch eh notationsgemäß [mm] $X\,$ [/mm] der
Definitionsbereich von [mm] $A\,.$ $B(A)=Y\,$ [/mm] - ich gehe mal davon aus,
dass [mm] $B(A)=\{y \in Y: \exists x \in D(A) \text{ mit }f(x)=y\}$ [/mm] ist -
wiederum besagt eigentlich nur, dass [mm] $A\,$ [/mm] surjektiv sein soll. Deswegen
rede ich hier immer die ganze Zeit von Bijektionen:
Zwei Mengen sind gleichmächtig genau dann, wenn es eine Bijektion
von der einen in die andere (und damit auch von der anderen in die eine)
gibt. Das kann man auch charakterisieren vermittels etwa:
Es gibt eine Injektion von der einen in die andere UND es gibt eine
Injektion von der anderen in die eine.
Oder:
Es gibt eine Surjektion von der einen in die andere UND es gibt eine Surjektion von der anderen in die eine.
P.P.S.
Ergänzend: Es ist (folglich) etwa
$$x [mm] \mapsto a+\left(\frac{x}{2*(1+|x|)}+\frac 1 2 \right)*(b-a)$$
[/mm]
eine Bijektion [mm] $\IR \to (a,b)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Schonmal vorweg: Das ganze ist als Frage formuliert, weil irgendwo dadrin auch eine steckt. Falls sie jemand beantworten möchte, ohne sich den Rest des Romans durchzulesen: Sie ist rot markiert.
Hallo Marcel,
> Hallo Axiom,
>
> > Definition: Zwei Mengen, X, Y heißen von gleicher
> > Mächtigkeit, wenn es eine eineindeutige Abbildung A: [mm]X\to[/mm]
> > Y gibt, mit: D(A)=X, B(A)=Y. Eine Abbildung [mm]A:X\to[/mm] Y heißt
> > eineindeutig, wenn aus A(x)=A(x') stets folgt: x=x'.
> >
> > Hallo, die Definition ist mir, denke ich, klar. Probleme
> > habe ich bei folgender Anwendung:
> >
> > Die Mengen [mm]X=\IR, Y=(a,b)\subset\IR[/mm] sind von gleicher
> > Mächtigkeit. Wir wählen etwa für A die Abbildung, welche
> > man durch Hintereinanderschalten der Projektionen
> > [mm]x\to{P(x)}\to{A(x)}[/mm] gemäß der folgenden Abbildung
> > erhält:
> > Ich verstehe nicht wirklich, was diese Abbildung mir
> sagen
> > möchte, von welcher Art A und P also sein sollen.
> > Vielleicht kann mir das ja jemand erläutern.
>
> ja, gute Frage. Ich mag's auch nicht, wenn man raten muss,
> welche
> Abbildungen da wohl gemeint sind. Warum hat der Autor sie
> nicht einfach
> hingeschrieben, oder wenigstens erklärt, welche
> Projektionen er meint:
> Er meint sicher keine Projektion [mm]\IR \to \IR[/mm]... sondern
> irgendwie
> eine Projektion [mm]M \subseteq \IR^2[/mm] auf "die [mm]x\,[/mm]-Achse",
> welche er mit
> [mm]\IR[/mm] identifiziert.
Das verstehe ich nicht. Welche Abbildung meinst du jetzt? A, P, [mm] A\circ{P}, [/mm] oder noch etwas anderes? Wieso sollte [mm] \IR^2 [/mm] auftauchen? Oder interpretierst du meine Zeichnung irgendwie zweidimensional? Ich hätte eher gedacht, dass die obere und die untere Linie jeweils eigenständig eindinmensional sind und beide [mm] \IR [/mm] symbolisieren. Kann mich aber auch grob irren. Vielleicht erklärst du noch einmal, was du genau meintest.
Mir scheint übrigens, dass mein Buch nicht die gängigen Begriffe nutzt, ich gebe also kurz einige Definitionen zu Abbildungen, wie sie im Buch stehen:
Seien X, Y beiliebige Mengen.
1. Eine Vorschrift A, welche jedem x einer Teilmenge [mm] D(A)\subset{X} [/mm] eindeutig ein Element [mm] y=A(x)\in{Y} [/mm] zuordnet, heißt eine Abbildung aus X in Y.
2. D(A) heißt Definitionsmenge von A.
3. [mm] B(A):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{D(A)}\} [/mm] heißt Bildmenge von A.
4. Ist [mm] X\subset{D(A)}, [/mm] so heißt [mm] A(X):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{X}\} [/mm] Bild von X unter A.
Eineindeutigkeit hatte ich ja schon angegeben. Die Begriffe Bijektion, Injektion und Surjektion werden nicht verwendet. Ich habe jetzt aber einen grobes Bild von deren Bedeutung.
> Übrigens: Eineindeutig besagt hier nichts anderes wie
> injektiv.
>
> Ich würde Dir aber gerne erstmal auf anderem Wege
> erklären, warum
> [mm]\IR[/mm] gleichmächtig zu [mm](a,b)\,[/mm] ist, falls [mm]a < b\,:[/mm]
>
> Zunächst betrachten wir die Abbildung
> [mm]g: (0,1) \to (a,b)[/mm]
> definiert durch [mm]g(x)=a+x*(b-a)\,.[/mm]
> Offenbar ist [mm]g\,[/mm] eine Bijektion (nachrechnen!).
Hierzu müsste ich doch jetzt zunächst zeigen: [mm] x_1\not=x_2\Rightarrow{}f(x_1)\not=f(x_2), [/mm] oder? Sei also o.B.d.A. [mm] x_1>x_2, [/mm] dann folgt: [mm] g(x_1)=a+x_1*(b-a)>a+x_2*(b-a)=g(x_2). [/mm] Damit ist die Abbildung injektiv oder eineindeutig.
Um die Surjektivität nachzuweisen muss ich zeigen: Zu jedem [mm] y\in(a,b) [/mm] existiert ein [mm] x\in(0,1) [/mm] so, dass f(x)=y. Aus y=g(x)=a+x*(b-a) folgt durch Äquivalenzumformung: [mm] x=\frac{y-a}{b-a}. [/mm] Dann bleibt zu zeigen: Ist a<y<b, so gilt [mm] 0<\frac{y-a}{b-a}<1. [/mm] Das ist offensichtilich wahr. Die Abbildung ist also injektiv und surjektiv und damit bijektiv.
Stimmt das? Mir scheint, das Buch weist einige Schwächen auf bei der Vermittlung dieses Stoffes.
> Weil die Verknüpfung
> von endlich vielen ("zusammenpassenden") Bijektionen
> wieder eine
> Bijektion ergibt, reicht es also, nachzuweisen, dass [mm]\IR[/mm]
> gleichmächtig
> zu [mm](0,1)\,[/mm] ist. (Denn dann finden wir eine Bijektion [mm]\IR \to (0,1)\,,[/mm])
>
> Man könnte nun einfach [mm]f: \IR \to (0,1)[/mm] so definieren:
> [mm]f(x):=\frac {\arctan(x)} {\pi} +\frac 1 2[/mm]
>
> Im Prinzip kann man sich aber auch andere Funktionen
> basteln - vor allem,
> weil so manch' einer nun sagen wird: "Boah, da braucht man
> ja schon den
> Arkustangens".
>
> Aber "naheliegend" ist es eigentlich, erstmal eine Funktion
> [mm]\tilde{f}\,[/mm]
> mit folgenden Eigenschaften zu basteln:
> 1.) [mm]\tilde{f}\,[/mm] soll ungerade sein:
> [mm]\tilde{f}(-x)=\tilde{f}(x)\,[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm]
> 2.)
> Insbesondere wollen wir also [mm]\tilde{f}(0)=0\,,[/mm] wir fordern
> aber auch:
> Es soll gelten: [mm]\tilde{f}([0,\infty))=[0,1)\,[/mm]
> 3.) [mm]\tilde{f}\,[/mm] soll streng wachsend und stetig sein mit
> [mm]\lim_{x \to \infty}\tilde{f}(x)=1\,.[/mm]
>
> Sowas kann man relativ leicht angeben:
> Setze zunächst einfach [mm]\tilde{f}(x):=x/(1+|x|)\,[/mm] für [mm]x \ge 0\,.[/mm]
> Dann
> sind 2.) und 3.) erfüllt. Wegen 1.) könnten wir nun
> sagen, wir definieren:
> [mm]\tilde{f}(-x):=-\tilde{f}(x)\,[/mm] für [mm]x > 0\,.[/mm]
> Schauen wir
> uns aber mal die definierende Gleichung
> [mm]\tilde{f}(x)=x/(1+|x|)[/mm] an, so sehen wir, dass, wenn wir [mm]x \in \IR[/mm]
> dort
> zulassen, [mm]\tilde{f}[/mm] eh ungerade ist.
>
> Warum bringt das was? Nunja:
> Jetzt definiert man
> [mm]f(x):=\frac{\tilde{f}(x)}{2}+\frac{1}{2}\,,[/mm]
> und ist fertig.
>
> Beim Arkustangens ist die Idee eigentlich ähnlich, nur ist
> der Arkustangens
> halt eine Bijektion [mm]\IR \to (-\pi/2,\;\pi/2)\,.[/mm] (Da
> könnte schon wieder jmd.
> sagen: "Krass... da muss man ja erstmal dieses komische
> [mm]\pi[/mm] kennen!")
> Entsprechend muss das Intervall [mm](-\pi/2,\;\pi/2)\,,[/mm]
> welches ja die Länge
> [mm]\pi/2-(\pi/2)=\pi[/mm] hat, auf ein Intervall der Länge [mm]1\,[/mm]
> gebracht werden,
> und da nun
> [mm]x \mapsto \frac{\arctan(x)}{\pi}[/mm]
> aber "nur" eine Bijektion
> [mm]\IR \to (-1/2,\;1/2)[/mm] wäre, ist es sinnvoll, noch
> [mm]1/2\,[/mm] draufzuaddieren:
> [mm]x \mapsto \frac{\arctan(x)}{\pi}+\frac{1}{2}[/mm]
> ist also
> eine Bijektion [mm]\IR \to (0,1)\,.[/mm]
>
> Und warum hilft uns diese Bastelei eigentlich, um zu
> erkennen, dass [mm]\IR[/mm]
> gleichmächtig zu [mm](a,b)\,[/mm] ist? Wie gesagt: Verknüpfungen
> ("zusammenpassender") Bijektion sind bijektiv.
>
> Wir haben oben eine Bijektion [mm]g: (0,1) \to (a,b)\,[/mm] direkt
> angegeben:
> [mm]g(x)=a+x*(b-a)[/mm]
> Es existiert also eine Bijektion [mm]g: (0,1) \to (a,b)\,.[/mm]
>
> (Ist eigentlich einfach: Im Wesentlichen steht da ja nur
> eine
> Geradengleichung - wir betrachten halt nicht die ganze
> Gerade!)
>
> Weiterhin haben wir eine Bijektion [mm]f: \IR \to (0,1)[/mm]
> gefunden:
> [mm]f(x)=\frac{x}{2*(1+|x|)}+\frac 1 2 \,.[/mm]
> Es existiert also
> eine Bijektion [mm]f: \IR \to (0,1)\,.[/mm]
>
> Zusammengebastelt:
> [mm]g \circ f[/mm] ist eine Bijektion [mm]\IR \to (a,b)\,.[/mm]
>
> Das beantwortet zwar nicht direkt Deine Frage, klärt aber
> hoffentlich,
> warum [mm]\IR[/mm] glm. zu [mm](a,b)\,[/mm] ist!
>
> P.S.
> Was ist eigentlich oben [mm]D(A)[/mm]? Der Definitionsbereich von
> [mm]A: X \to Y[/mm]?
> Aber wenn [mm]A: X \to Y[/mm] ist, dann ist doch eh
> notationsgemäß [mm]X\,[/mm] der
> Definitionsbereich von [mm]A\,.[/mm] [mm]B(A)=Y\,[/mm] - ich gehe mal davon
> aus,
> dass [mm]B(A)=\{y \in Y: \exists x \in D(A) \text{ mit }f(x)=y\}[/mm]
> ist -
> wiederum besagt eigentlich nur, dass [mm]A\,[/mm] surjektiv sein
> soll. Deswegen
> rede ich hier immer die ganze Zeit von Bijektionen:
> Zwei Mengen sind gleichmächtig genau dann, wenn es eine
> Bijektion
> von der einen in die andere (und damit auch von der
> anderen in die eine)
> gibt. Das kann man auch charakterisieren vermittels etwa:
> Es gibt eine Injektion von der einen in die andere UND es
> gibt eine
> Injektion von der anderen in die eine.
> Oder:
> Es gibt eine Surjektion von der einen in die andere UND es
> gibt eine Surjektion von der anderen in die eine.
Der Rest ist mir soweit schlüssig. Insbesondere schlüssiger, als mein Buch. vielen Dank für die Erläuterungen.
> Gruß,
> Marcel
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Schonmal vorweg: Das ganze ist als Frage formuliert, weil
> irgendwo dadrin auch eine steckt. Falls sie jemand
> beantworten möchte, ohne sich den Rest des Romans
> durchzulesen: Sie ist rot markiert.
>
> Hallo Marcel,
> > Hallo Axiom,
> >
> > > Definition: Zwei Mengen, X, Y heißen von gleicher
> > > Mächtigkeit, wenn es eine eineindeutige Abbildung A: [mm]X\to[/mm]
> > > Y gibt, mit: D(A)=X, B(A)=Y. Eine Abbildung [mm]A:X\to[/mm] Y heißt
> > > eineindeutig, wenn aus A(x)=A(x') stets folgt: x=x'.
> > >
> > > Hallo, die Definition ist mir, denke ich, klar. Probleme
> > > habe ich bei folgender Anwendung:
> > >
> > > Die Mengen [mm]X=\IR, Y=(a,b)\subset\IR[/mm] sind von gleicher
> > > Mächtigkeit. Wir wählen etwa für A die Abbildung, welche
> > > man durch Hintereinanderschalten der Projektionen
> > > [mm]x\to{P(x)}\to{A(x)}[/mm] gemäß der folgenden Abbildung
> > > erhält:
> > > Ich verstehe nicht wirklich, was diese Abbildung mir
> > sagen
> > > möchte, von welcher Art A und P also sein sollen.
> > > Vielleicht kann mir das ja jemand erläutern.
> >
> > ja, gute Frage. Ich mag's auch nicht, wenn man raten muss,
> > welche
> > Abbildungen da wohl gemeint sind. Warum hat der Autor sie
> > nicht einfach
> > hingeschrieben, oder wenigstens erklärt, welche
> > Projektionen er meint:
> > Er meint sicher keine Projektion [mm]\IR \to \IR[/mm]... sondern
> > irgendwie
> > eine Projektion [mm]M \subseteq \IR^2[/mm] auf "die [mm]x\,[/mm]-Achse",
> > welche er mit
> > [mm]\IR[/mm] identifiziert.
>
> Das verstehe ich nicht. Welche Abbildung meinst du jetzt?
> A, P, [mm]A\circ{P},[/mm] oder noch etwas anderes?
naja, prinzipiell jede Abbildung, die "Projektion" benannt wird. Warum
sollte man im [mm] $\IR$ [/mm] von Projektionen reden? Und wie projeziert man
vom eindimensionalen ins eindimensionale? Also mir stellt sich sonst
die Frage nach dem Sinn der Verwendung dieses Begriffes!
> Wieso sollte
> [mm]\IR^2[/mm] auftauchen? Oder interpretierst du meine Zeichnung
> irgendwie zweidimensional?
Ja, aus obigem Grund. Muss aber nicht sein, dass ich richtig liege. Wolfgang
versteht wohl die Skizze... ich muss über die mal nachdenken, wenn ich sie
auch verstehen will (ehrlich gesagt, wollte(!!) ich bisher noch nicht viel
drüber nachdenken) - und schau' dann, was Wolfgang geschrieben hat!
Der hat sie wohl kapiert ^^
> Ich hätte eher gedacht, dass
> die obere und die untere Linie jeweils eigenständig
> eindinmensional sind und beide [mm]\IR[/mm] symbolisieren.
Macht' ja nix, sie sind dann trotzdem beides eindimensionale Teilmengen
des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] (Oder darf man nur sagen, dass sie Teilmengen einer
eindimensionalen Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] sind? Naja, sagen wir das lieber
mal so, wie hier in der Klammer, dann ist's jedenfalls nicht falsch.  )
> Kann mich
> aber auch grob irren. Vielleicht erklärst du noch einmal,
> was du genau meintest.
Ich meinte das einfach nur wegen der Verwendung des Begriffes
"Projektion". Anschaulich habe ich mir da wenig Gedanken zu gemacht,
ehrlich gesagt.
> Mir scheint übrigens, dass mein Buch nicht die gängigen
> Begriffe nutzt, ich gebe also kurz einige Definitionen zu
> Abbildungen, wie sie im Buch stehen:
>
> Seien X, Y beiliebige Mengen.
> 1. Eine Vorschrift A, welche jedem x einer Teilmenge
> [mm]D(A)\subset{X}[/mm] eindeutig ein Element [mm]y=A(x)\in{Y}[/mm] zuordnet,
> heißt eine Abbildung aus X in Y.
> 2. D(A) heißt Definitionsmenge von A.
Warum schreibt man dann aber $A:X [mm] \to [/mm] Y$? Vielleicht bin ich gerade mit
den Bezeichnungen, die ich schon seit Jahren benutze, einfach nur
verwirrt...
> 3. [mm]B(A):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{D(A)}\}[/mm] heißt
> Bildmenge von A.
Das hatte ich ja auch so geschrieben! (Dieses "für ein" ist das gleiche wie
"es existiert ein"). Wobei: Fehlt da nicht ein $y [mm] \in [/mm] Y$ in der
Mengenklammer rechterhand?
> 4. Ist [mm]X\subset{D(A)},[/mm] so heißt [mm]A(X):=\{y:y=A(x) \mbox{für ein} x\in{X}\}[/mm]
> Bild von X unter A.
Irgendwie ist das komisch. Also ist hier $A: X [mm] \to [/mm] Y$ das, was ich
normalerweise unter einer Abbildung verstehe und [mm] $A(X)\,$ [/mm] ist das,
was ich dann den Wertebereich oder besser den Bildbereich von [mm] $A\,$
[/mm]
nennen würde. Für jede Menge $D(A) [mm] \subseteq [/mm] X$ ist dann $D(A)$
eine Definitionsmenge von [mm] $A\,.$ [/mm] Also sind hier Definitionsmengen gar
nicht eindeutig... Prinzipiell scheint's mir, dass man das, wenn ich mit den
mir bekannten Bezeichnungen ausdrücken will, nichts anderes besagt, als
dass, wenn $A:X [mm] \to [/mm] Y$ in dem mir üblichen Sinne eine Abbildung ist, man
dann für $P [mm] \subseteq [/mm] X$ eine Abbildung [mm] $A_{|P}: [/mm] P [mm] \to [/mm] Y$ definieren kann
durch [mm] $A_{|P}(x):=A(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in P\,,$ [/mm] und [mm] $A_{|P}$ [/mm] heißt dann die
Einschränkung von [mm] $A\,$ [/mm] auf [mm] $P\,.$
[/mm]
Obiges finde ich immer noch komisch... $A:X [mm] \to [/mm] Y$ hat keinen eindeutigen
Definitionsbereich, sondern jede Einschränklung von [mm] $A\,$ [/mm] hat einen
Definitionsbereich. Schränkt man [mm] $A\,$ [/mm] auf [mm] $X\,$ [/mm] ein, dann hat man "den
maximalen Definitionsbereich" für [mm] $A\,.$ [/mm] Vielleicht heißt dieser ja dann doch
irgendwo "Definitionsbereich von [mm] $A\,.$"??
[/mm]
> Eineindeutigkeit hatte ich ja schon angegeben. Die
> Begriffe Bijektion, Injektion und Surjektion werden nicht
> verwendet.
Indirekt schon.
> Ich habe jetzt aber einen grobes Bild von deren
> Bedeutung.
>
> > Übrigens: Eineindeutig besagt hier nichts anderes wie
> > injektiv.
> >
> > Ich würde Dir aber gerne erstmal auf anderem Wege
> > erklären, warum
> > [mm]\IR[/mm] gleichmächtig zu [mm](a,b)\,[/mm] ist, falls [mm]a < b\,:[/mm]
> >
> > Zunächst betrachten wir die Abbildung
> > [mm]g: (0,1) \to (a,b)[/mm]
> > definiert durch
> [mm]g(x)=a+x*(b-a)\,.[/mm]
> > Offenbar ist [mm]g\,[/mm] eine Bijektion (nachrechnen!).
>
> Hierzu müsste ich doch jetzt zunächst zeigen:
> [mm]x_1\not=x_2\Rightarrow{}f(x_1)\not=f(x_2),[/mm] oder?
Mit dem [mm] $f\,,$ [/mm] was hier eigentlich [mm] $g\,$ [/mm] heißt. Hast Du aber unten richtig
gemacht!
> Sei also
> o.B.d.A. [mm]x_1>x_2,[/mm] dann folgt:
> [mm]g(x_1)=a+x_1*(b-a)>a+x_2*(b-a)=g(x_2).[/mm]
Ja, das kannst Du so machen. Es geht aber auch so (das schreibe ich
insbesondere, weil Du hier eigentlich keine Ordnung brauchst!): Seien
[mm] $x_1, x_2 \in (0,1)\,.$ [/mm] Wir zeigen(Kontraposition!):
Aus [mm] $g(x_1)=g(x_2)$ [/mm] folgt [mm] $x_1=x_2\,.$
[/mm]
(Mach' Dir klar: [mm] $x_1 \not= x_2 \Rightarrow g(x_1) \not=g(x_2)$
[/mm]
ist äquivalent zu [mm] $g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\,.$)
[/mm]
Gelte also [mm] $g(x_1)=g(x_2)\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $a+x_1*(b-a)=a+x_2*(b-a)\,.$ [/mm] Ich
denke, die restlichen Schritte, um [mm] $x_1=x_2$ [/mm] zu folgern, erkennst Du
selbst!
[Nebenbei: Man könnte aber auch direkt argumentieren:
[mm] $x_1 \not= x_2 \Rightarrow x_1(b-a) \not=x_2(b-a)$ [/mm] (wegen [mm] $b-a\not=0$)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a+x_1(b-a) \not=a+x_2(b-a)\,.$]
[/mm]
> Damit ist die
> Abbildung injektiv oder eineindeutig.
Genau!
> Um die Surjektivität nachzuweisen muss ich zeigen: Zu
> jedem [mm]y\in(a,b)[/mm] existiert ein [mm]x\in(0,1)[/mm] so, dass f(x)=y.
> Aus y=g(x)=a+x*(b-a) folgt durch Äquivalenzumformung:
> [mm]x=\frac{y-a}{b-a}.[/mm] Dann bleibt zu zeigen: Ist a<y<b, so
> gilt [mm]0<\frac{y-a}{b-a}<1.[/mm] Das ist offensichtilich wahr. Die
> Abbildung ist also injektiv und surjektiv und damit
> bijektiv.
> Stimmt das?
Ja. Nur dieses "offensichtlich" kann man sogar genauer hinschreiben:
Behauptung: Ist $a < y < b$ (man beachte, dass wir $a < [mm] b\,$ [/mm] hatten),
dann ist $0 < [mm] x:=\frac{y-a}{b-a} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Beweis:
Aus $a < y < b$ folgt sowohl $y-a > [mm] 0\,$ [/mm] als auch $b-a > [mm] 0\,,$ [/mm] also ist
[mm] $\frac{y-a}{b-a} [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Da aus $y < [mm] b\,$ [/mm] auch $y-a < [mm] b-a\,$ [/mm] folgt und
$b-a > [mm] 0\,$ [/mm] ist, folgt [mm] $\frac{y-a}{b-a} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Insgesamt also $0 < [mm] x:=\frac{y-a}{b-a} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Fazit: Für jedes $y [mm] \in [/mm] (a,b)$ existiert ein $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ mit [mm] $g(x):=y\,,$
[/mm]
denn man braucht nur definieren [mm] $x:=\frac{y-a}{b-a}\,.$ [/mm] Warum dann
$x [mm] \in [/mm] (0,1)$ ist, haben wir jetzt wirklich ausführlich genug begründet,
und nachrechnen, dass [mm] $x\,$ [/mm] das gewünschte leistet, brauchen wir auch
nicht mehr, denn das folgt aus Deinen Äquivalenzumformungen durch
Verfolgen der Folgerungspfeile in die entsprechende Richtung!
> Mir scheint, das Buch weist einige Schwächen
> auf bei der Vermittlung dieses Stoffes.
Das weiß ich nicht - wie heißt es denn? Ich selbst finde, dass man hier
ein paar Worte mehr hätte sagen können. Aber ich selbst finde den
von mir selbst zusammengebastelten Beweis auch schöner (ich habe
den aber so, denke ich, nicht erfunden. Dafür sind die Beweisschritte,
die ich verwende, eigentlich zu naheliegend! Man muss sich ja nur mal
eine Skizze machen. Natürlich fordere ich sogar "unnötig viel". Man könnte
auch "beklopptere" Bijektionen [mm] $\IR \to [/mm] (0,1)$ angeben. Und irgendwie
gab's da auch mal einen Beweis, wo man etwa mit Dualdarstellungen
was bastelt. Finde ich aber dann auch wieder unnötig kompliziert, es sei
denn, jemand arbeitet eh ständig mit sowas. Für den sind das dann sogar
meist "handlichere" Beweise!)
> > ...
> Der Rest ist mir soweit schlüssig. Insbesondere
> schlüssiger, als mein Buch. vielen Dank für die
> Erläuterungen.
Okay, entsprechend habe ich jetzt den Rest mal rausgenommen, damit
wir nicht wirklich bald durch's Zitieren hier 'nen Matheroman verfasst
haben.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 07.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
ich glaube, ich verstehe das Bild:
P ist eine Parallelprojektion der Stecke $(a; (a+b)/2)$ auf die Strecke [mm] $(P_a; [/mm] {(a+b)/2)}$. Diese Abbildung ist eineindeutig, das heißt, die beiden Strecken sind gleichmächtig.
Das nächste ist eine Zentralprojektion von der Strecke [mm] $(P_a; [/mm] (a+b)/2)$ auf die Halbgerade [mm] $(-\infty; [/mm] (a+b)/2)$ mit der "Lichtquelle" im Punkt [mm] $P_{(a+b)/2}$. [/mm] Auch diese Projektion ist eineindeutig, so daß auch diese beiden Mengen gleichmächtig sind.
Dasselbe auf der rechten Seite und dann noch $(a+b)/2$ auf sich selbst abbilden, und Du hast die Gleichmächtigkeit des Intervalls $(a; b)$ und [mm] $\IR$.
[/mm]
Meine Darstellung von Strecken und Halbgeraden ist unkonventionell, aber ich denke, es ist klar, was ich meine, oder?
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom96,
>
> ich glaube, ich verstehe das Bild:
>
> P ist eine Parallelprojektion der Stecke [mm](a; (a+b)/2)[/mm] auf
> die Strecke [mm](P_a; {(a+b)/2)}[/mm]. Diese Abbildung ist
> eineindeutig, das heißt, die beiden Strecken sind
> gleichmächtig.
>
> Das nächste ist eine Zentralprojektion von der Strecke
> [mm](P_a; (a+b)/2)[/mm] auf die Halbgerade [mm](-\infty; (a+b)/2)[/mm] mit
> der "Lichtquelle" im Punkt [mm]P_{(a+b)/2}[/mm]. Auch diese
> Projektion ist eineindeutig, so daß auch diese beiden
> Mengen gleichmächtig sind.
>
> Dasselbe auf der rechten Seite und dann noch [mm](a+b)/2[/mm] auf
> sich selbst abbilden, und Du hast die Gleichmächtigkeit
> des Intervalls [mm](a; b)[/mm] und [mm]\IR[/mm].
>
> Meine Darstellung von Strecken und Halbgeraden ist
> unkonventionell, aber ich denke, es ist klar, was ich
> meine, oder?
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
Hallo Wolfgang,
Ja, das scheint mir tatsächlich sinnvoll. Ich verstehe zwar nicht, warum die Autoren nicht einfach wie eben Marcel eine Abbildung analytisch konstruieren, aber egal.
Vielen Dank und Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 So 07.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> Ja, das scheint mir tatsächlich sinnvoll. Ich verstehe
> zwar nicht, warum die Autoren nicht einfach wie eben Marcel
> eine Abbildung analytisch konstruieren, aber egal.
Die Zeichnung zeigt doch auf einen Blick, daß die Intervalle [mm] $\bigl(-\infty; (a+b)/2\bigr)$ [/mm] und [mm] $\bigl(a; (a+b)/2\bigr)$ [/mm] gleichmächtig sind. Und jetzt kannst Du immer noch die Abbildung $A$ definieren und Dich mit den Mitteln der Analysis überzeugen, daß sie eineindeutig ist mit [mm] $B(A)=\bigl(-\infty; (a+b)/2\bigr)$ [/mm] und [mm] $D(A)=\bigl(a;( a+b)/2\bigr)\;.$
[/mm]
Dieses Beispiel betont sehr schön die Geometrie als Wurzel der Analysis. Ohne geometrische Anschauung würde wohl keiner [mm] $\sqrt [/mm] 2$ vermissen oder die rationalen Zahlen vervollständigen.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Axiom96,
>
> > Ja, das scheint mir tatsächlich sinnvoll. Ich verstehe
> > zwar nicht, warum die Autoren nicht einfach wie eben Marcel
> > eine Abbildung analytisch konstruieren, aber egal.
>
> Die Zeichnung zeigt doch auf einen Blick, daß die
> Intervalle [mm]\bigl(-\infty; (a+b)/2\bigr)[/mm] und [mm]\bigl(a; (a+b)/2\bigr)[/mm]
> gleichmächtig sind. Und jetzt kannst Du immer noch die
> Abbildung [mm]A[/mm] definieren und Dich mit den Mitteln der
> Analysis überzeugen, daß sie eineindeutig ist mit
> [mm]B(A)=\bigl(-\infty; (a+b)/2\bigr)[/mm] und [mm]D(A)=\bigl(a;( a+b)/2\bigr)\;.[/mm]
>
> Dieses Beispiel betont sehr schön die Geometrie als Wurzel
> der Analysis. Ohne geometrische Anschauung würde wohl
> keiner [mm]\sqrt 2[/mm] vermissen
das sehe ich anders. Schließlich ist die Frage nach einer Zahl [mm] $i\,,$ [/mm] deren
Quadrat [mm] $-1\,$ [/mm] ergibt, auch ohne Anschauung entstanden - oder liege ich
da falsch? Naja, ich stelle jedenfalls mal die Behauptung auf, dass man
sich mindestens auch ohne jede Anschauung diese Frage stellen könnte.
> oder die rationalen Zahlen
> vervollständigen.
Naja, also die "Vervollständigung mittels Äquivalenzklassen" finde ich
eigentlich auch nicht anschaulich - Dedekind's Methode irgendwie schon.
Ich finde es auch nicht immer schlecht, sich mit Geometrie manches
klarzumachen. Aber viele erliegen schnell "Fehlfolgerungen", wenn sie
halt nur mit Geometrie anhand der Anschauung argumentieren. Z.B. das
man zwei Winkel als gleich ansieht, weil sie so aussehen, in Wahrheit das
aber nur der "in diesem Sinne: schlechten(!)" Skizze dann zuzuschreiben
wäre.
Es gilt halt auch bei Argumenten, wo man (viel) Anschauung bemüht:
Man prüfe penibelst genau, ob das, was man benutzen will, sich irgendwie
aus bekanntem folgern läßt. Wenn ich in einem Beweis mit Skizzen sehe:
"Wie man sieht gilt folgendes...", dann finde ich den Beweis
überarbeitungswürdig. Aber generell sind (gute, vernünftige(!)) Skizzen
sehr oft mindestens "Lieferanten" für Beweisideen. Aber manchmal merkt
man dann halt, wenn man alles aufschreibt, dass manches, was so klar
"sichtbar" erscheint, doch einiges an Argumentation bedarf.
Übrigens hätte Axiom auch schnell sagen können:
"Dass $g: (0,1) [mm] \to [/mm] (a,b)$" mit $g(x):=a+x*(b-a)$ bijektiv ist, sieht man
doch sofort, wenn man sich den Graphen skizziert.
Stimmt auch. Irgendwann wird Axiom auch mit solchen Argumenten
zufrieden sein - aber nur, weil er dann eh genug Übung drin hat und
es wirklich für ihn leicht von der Hand geht, sich schnell das ganze in
die mathematische Sprache zu übersetzen und "einen Beweis wie üblich"
durchzuführen. Man macht das ja auch nicht aus Spaß so.
Gruß,
Marcel
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