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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Lotfusspunkt einer Geraden auf einer Ebene
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Lotfusspunkt einer Geraden auf einer Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:23 Fr 14.05.2004
Autor: alonetogether

Hallo alle zusammen und gleich mal ne direkte Frage inklusive Aufgabe:

Ich will eine Lotgerade auf eine Ebene fällen, die durch den Nullpunkt geht, um dann den Abstand zwischen einem gegebenen Punkt in der Ebene und dem entstandenen Lotfusspunkt zu errechnen.

Die Ebenengleichung lautet: [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + k [mm] \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + l [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
Die Normalenform(?) wäre dann doch x+y+z=12 , oder?

Wenn das soweit stimmt, dann bekomme ich für die Lotgerade die Gleichung: k [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ....

Wenn ich nun die Parameter der Lotgeraden in die Ebenengleichung einsetze, bekomme ich k = 4 raus. Das würde doch bedeuten, dass die Gerade die Ebene an dem Punkt [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] durchstößt?!?

Ja und dann soll noch der Abstand dieses Lotfusspunktes von dem Punkt [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] berechnet werden ...
Hier bekomme ich [mm] \wurzel{2} [/mm] raus.

Könnte mir jemand sagen ob hier wenigstens irgendwas dran richtig ist? (: hehe ...

        
Bezug
Lotfusspunkt einer Geraden auf einer Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:37 Fr 14.05.2004
Autor: Marc

Hallo alonetogether,

willkommen im MatheRaum! :-)

> Ich will eine Lotgerade auf eine Ebene fällen, die durch
> den Nullpunkt geht, um dann den Abstand zwischen einem
> gegebenen Punkt in der Ebene und dem entstandenen
> Lotfusspunkt zu errechnen.
>  
> Die Ebenengleichung lautet:
> [mm] $\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + k [mm] \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + l [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm]
>  Die Normalenform(?) wäre dann doch x+y+z=12 , oder?

[ok]

> Wenn das soweit stimmt, dann bekomme ich für die Lotgerade
> die Gleichung: $k [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]
> ....

[ok]
  

> Wenn ich nun die Parameter der Lotgeraden in die
> Ebenengleichung einsetze, bekomme ich k = 4 raus. Das würde
> doch bedeuten, dass die Gerade die Ebene an dem Punkt
> [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] durchstößt?!?

[ok]

> Ja und dann soll noch der Abstand dieses Lotfusspunktes von
> dem Punkt [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
> berechnet werden ...
>  Hier bekomme ich [mm] \wurzel{2} [/mm] raus.

Mal sehen:
$d$
[mm] $=\left| \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \right|$ [/mm]
[mm] $=\left| \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right|$ [/mm]
[mm] $=\wurzel{1+1+0}$ [/mm]
[mm] $=\wurzel{2}$ [/mm]

[ok]

> Könnte mir jemand sagen ob hier wenigstens irgendwas dran
> richtig ist? (: hehe ...

Da irgendetwas eine Teilmenge von "Alles" ist, stimmt auch deine letzte Frage ;-)
Nicht schlecht.

Viele Grüße,
Marc


  

Bezug
                
Bezug
Lotfusspunkt einer Geraden auf einer Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:51 Fr 14.05.2004
Autor: alonetogether

Ja, das ist ja klasse.

Ich habe mir heute schon den ganzen Tag den Kopf zerbrochen, wie das denn nochmal alles funktioniert und im Traum nicht daran gedacht, dass man da ein Ergebnis bekommen kann.

Danke also für das besonders schnelle Antworten.
Jetzt kann ich mich morgen doch noch an die Tafel stellen und meine mündliche Zensur aufstocken (:

Ich liebe jetzt schon dieses Forum. Schnell angemeldet, leichte Bedienung und blitzschnelle Antwort. Hier geh ich nicht mehr weg! hehe

Gruss & Dank,
Philipp

Bezug
                        
Bezug
Lotfusspunkt einer Geraden auf einer Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:55 Fr 14.05.2004
Autor: Marc

Hallo Philipp!

> Ja, das ist ja klasse.
>  
> Ich habe mir heute schon den ganzen Tag den Kopf
> zerbrochen, wie das denn nochmal alles funktioniert und im
> Traum nicht daran gedacht, dass man da ein Ergebnis
> bekommen kann.

Deine Rechnung sah aber sehr zielstrebig und klar aus, kann mir nicht vorstellen, dass du an dir gezweifelt hast?!

> Danke also für das besonders schnelle Antworten.

Das war natürlich vor allem eine Verkettung glücklicher Umstände: Ich war online und deine Frage war einfach :-)

>  Jetzt kann ich mich morgen doch noch an die Tafel stellen
> und meine mündliche Zensur aufstocken (:
>  
> Ich liebe jetzt schon dieses Forum. Schnell angemeldet,

Hey, du bist der erste echte Verehrer dieses Forums :-)!

> leichte Bedienung und blitzschnelle Antwort. Hier geh ich
> nicht mehr weg! hehe

Schön, dann werden wir uns ja noch häufiger hier treffen.

Alles Gute Nacht,
Marc

Bezug
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