www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lokale Extrema
Lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lokale Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 So 13.05.2012
Autor: Hanz

Hey,

ich habe eine Frage und zwar habe ich die Funktion [mm] f(x,y)=x^3 [/mm] - [mm] 3xy^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] gegeben und soll die lokalen Extrema bestimmen.

Die stationären Punkte lauten (0,0), (1,1) und (1,-1).

Die Hessematrix ist: [mm] H_f(x,y)=\pmat{ 6x & -6y \\ -6y & -6x } [/mm]

Prüfe ich nun den Punkt (0,0) mit [mm] H_f(0,0) [/mm] bekomme ich ja die Nullmatrix heraus. Wie kann ich nun entscheiden, ob ein Max., Min. oder Sattelpunkt vorliegt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 So 13.05.2012
Autor: mathmetzsch

Hallo!

Die Nullmatrix hat die Determinante 0. Demnach ist der Verdachtspunkt ein sog. entarteter Punkt.

Hier vielleicht noch mal ein kurzer Überblick: Sei H die Hesse-Matrix.

Ein entarteter Punkt ist es, wenn det H = 0.
Ein Sattelpunkt ist es wenn det H < 0 ist.

Positiv / negativ definit (also Maximum bzw. Minimum) ist es, wenn det H >0 ist und h11 (erstes Element in der Hesse'schen Matrix) größer bzw. kleiner 0 ist.

Grüße, Daniel


Bezug
                
Bezug
Lokale Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 So 13.05.2012
Autor: Hanz

Aber eigentlich soll da rauskommen, dass es ein Sattelpunkt ist...

Bezug
                        
Bezug
Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 So 13.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Hanz,


> Aber eigentlich soll da rauskommen, dass es ein Sattelpunkt
> ist...

Überprüfe deine Hessematrix.

Es ist [mm] $f_{yy}(x,y)$ [/mm] nach meiner Rechnung falsch ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Lokale Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 So 13.05.2012
Autor: mathmetzsch

Ich glaub, du hast dich bei dem vierten Eintrag in der Matrix verrechnet...!

Grüße, Daniel


Bezug
        
Bezug
Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Mo 14.05.2012
Autor: fred97

Es ist f(0,0) = 0 und [mm] f(x,0)=x^3. [/mm] Damit nimmt f in jeder Umgebung von (0,0) Funktionswerte an, die  < f(0,0) sind und f nimmt auch in jeder Umgebung Funktionswerte an, die > f(0,0) sind.

Hilft das ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Lokale Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 Mo 14.05.2012
Autor: Hanz


> Es ist f(0,0) = 0 und [mm]f(x,0)=x^3.[/mm] Damit nimmt f in jeder
> Umgebung von (0,0) Funktionswerte an, die  < f(0,0) sind
> und f nimmt auch in jeder Umgebung Funktionswerte an, die >
> f(0,0) sind.
>  
> Hilft das ?
>  
> FRED

Also wenn ich es richtig verstanden habe gibt es in der UMgebung von (0,0) also Bildwerte, die sowohl größer, als auch kleiner als (0,0) sind, also kann dieser Punkt weder Min. noch Max. sein, also ein Sattelpunkt?

Was mich jetzt noch verwirrt ist, dass in unserem Skript stand, dass wenn die Determinante der Hessematrix =0 ist, dann erhält man eine Gerade von lokalen Extremstellen... nun ist die Determinante 0 und es ist dann aber ein Sattelpunkt...

Bezug
                        
Bezug
Lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Mo 14.05.2012
Autor: fred97


> > Es ist f(0,0) = 0 und [mm]f(x,0)=x^3.[/mm] Damit nimmt f in jeder
> > Umgebung von (0,0) Funktionswerte an, die  < f(0,0) sind
> > und f nimmt auch in jeder Umgebung Funktionswerte an, die >
> > f(0,0) sind.
>  >  
> > Hilft das ?
>  >  
> > FRED
>
> Also wenn ich es richtig verstanden habe gibt es in der
> UMgebung von (0,0)

in jeder Umgebung von (0,0)

> also Bildwerte, die sowohl größer, als
> auch kleiner als (0,0) sind,

Nein. als f(0,0)


>also kann dieser Punkt weder

> Min. noch Max. sein

Ja



> , also ein Sattelpunkt?
>  
> Was mich jetzt noch verwirrt ist, dass in unserem Skript
> stand, dass wenn die Determinante der Hessematrix =0 ist,
> dann erhält man eine Gerade von lokalen Extremstellen...

Was steht genau in Deinem Skript ?

FRED


> nun ist die Determinante 0 und es ist dann aber ein
> Sattelpunkt...


Bezug
                                
Bezug
Lokale Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Mo 14.05.2012
Autor: Hanz

Es wäre hier auf Seite 47 im Skript:

http://www.iag.uni-hannover.de/~ebeling/skripten/MatheIngII.pdf

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]