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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Log(z^2) analystisch
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Log(z^2) analystisch: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Sa 19.05.2012
Autor: Lonpos

Aufgabe
[mm] Log(z^2) [/mm] ist analytisch für [mm] z\not=0 [/mm] und [mm] Arg(z)\not=+- \pi/2 [/mm]

Mir ist das nicht ganz klar, denn wenn ich [mm] z^2:=w\in\IC [/mm]

dann ist Log(w) eindeutig auf der geschlitzten Ebene [mm] \IC^- [/mm]

und [mm] \{w: -\pi
Wie folgert man die Beh. für [mm] z^2 [/mm] daraus?


        
Bezug
Log(z^2) analystisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Sa 19.05.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> [mm]Log(z^2)[/mm] ist analytisch für [mm]z\not=0[/mm] und [mm]Arg(z)\not=+- \pi/2[/mm]
>  
> Mir ist das nicht ganz klar, denn wenn ich [mm]z^2:=w\in\IC[/mm]
>  
> dann ist Log(w) eindeutig auf der geschlitzten Ebene [mm]\IC^-[/mm]
>
> und [mm]\{w: -\pi
>  
> Wie folgert man die Beh. für [mm]z^2[/mm] daraus?

Die Komposition analytischer Funktionen ist analytisch. [mm] $z^2$ [/mm] ist analytisch in ganz [mm] $\IC$. [/mm] Für welche w ist Log w analytisch?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Log(z^2) analystisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Sa 19.05.2012
Autor: Lonpos

Log(w) ist analytisch in der geschlitzten Ebene.

Bezug
                        
Bezug
Log(z^2) analystisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Sa 19.05.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Log(w) ist analytisch in der geschlitzten Ebene.

Und was ist das Urbild der geschlitzten Ebene unter [mm] $z\mapsto z^2$ [/mm] ?

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
        
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Log(z^2) analystisch: Ein Argument mit arg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Sa 19.05.2012
Autor: Helbig

Wenn [mm] $\arg [/mm] z [mm] \ne \pm \bruch \pi 2\pmod {2\pi}$ [/mm] ist, ist [mm] $\arg z^2 [/mm] = [mm] 2*\arg [/mm] z [mm] \ne \pm \pi \pmod {2\pi}$. [/mm]

Damit liegt [mm] $w=z^2$ [/mm] in [mm] $\IC^-$. [/mm]

Gruß,
Wolfgang

Bezug
                
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Log(z^2) analystisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 So 20.05.2012
Autor: MaxPlanck

Welche Erkenntnis habe ich daraus gewonnen? Ich stehe nämlich komischerweise gerade vor derselben Aufgabe. Wenn ich das richtig sehe, ist
[mm] \[2*arg(z)\ne \pm \bruch{\pi}{2}\] [/mm]
oder? Und dann wird es erst richtig seltsam.


Bezug
                        
Bezug
Log(z^2) analystisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:22 Mo 21.05.2012
Autor: Helbig


> Welche Erkenntnis habe ich daraus gewonnen? Ich stehe
> nämlich komischerweise gerade vor derselben Aufgabe. Wenn
> ich das richtig sehe, ist
>  [mm]\[2*arg(z)\ne \pm \bruch{\pi}{2}\][/mm]

Dies ist wohl ein Tippfehler. Es muß [mm]\[2*arg(z)\ne \pm \pi\][/mm] heißen.

>  oder? Und dann wird es
> erst richtig seltsam.
>  

Aus  [mm]\[2*arg(z)\ne \pm \pi\][/mm] folgt [mm] $z^2\in\IC^-$, [/mm] und [mm] $\IC^-$, [/mm] die "geschlitzte" [mm] $\IC$-Ebene, [/mm] ist der Definitionsbereich des Hauptzweigs des Logarithmus.
Dieser ist analyitisch, und damit auch [mm] $f\colon \IC^\star\to \IC; z\mapsto \log z^2$ [/mm] als Hintereinanderausführung analytischer Funktionen.

Gruß
Wolfgang


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