Linearität von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Sa 11.11.2006 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen f: [mm] K^{3} \to K^{2} [/mm] sind Linear?
(i) [mm] K=\IQ, \vektor{x \\ y\\ z } \mapsto \vektor{4x + z \\ y}
[/mm]
(ii) [mm] K=\IQ, \vektor{x \\ y\\ z } \mapsto \vektor{x^{2} + z \\ y}
[/mm]
(iii) [mm] K=\IF_{2} \vektor{x \\ y\\ z } \mapsto \vektor{x^{2} + z \\ y^{3}}
[/mm]
|
Ich kann zeigen (i) ist linear, (ii) nicht !
indem ich für (i) bzw (ii) zeige, dass für Linearität
1.) f: (v+v') = f: (v) + f: (v')
2.) f: (av) = a f: (v)
[mm] \Rightarrow [/mm] (i) erfüllt 1.) und 2.), (ii) nicht!
Nun meine Frage,
bei (iii) 1.) kann ich mit Fallunterscheidung machen [mm] \IF_{2} [/mm] hat ja nut 2 elemente {0,1}
mit 0+0=0; 0+1=1; 1+1:=0
damit kann ich dann fälle unterscheiden
Vielleicht habt ihr ja nen Tipp wie es leichter geht.
Bei 2.) habe ich aber keine ahnung wie eine Skalarmultiplikation in einem
[mm] \IF_{2} [/mm] - Vektorraum definiert ist.
Gilt für a [mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] mit x, y, z [mm] \in \IF_{2}
[/mm]
= [mm] \vektor{ax \\ ay\\ az} [/mm] und wenn ja, wie ist z.B. ax definiert????
Vielen Dank für eure Mühe
MFG Christoph
PS: ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
Hallo CPH!
> Welche der folgenden Abbildungen f: [mm]K^{3} \to K^{2}[/mm] sind
> Linear?
>
> (i) [mm]K=\IQ, \vektor{x \\ y\\ z } \mapsto \vektor{4x + z \\ y}[/mm]
>
> (ii) [mm]K=\IQ, \vektor{x \\ y\\ z } \mapsto \vektor{x^{2} + z \\ y}[/mm]
>
> (iii) [mm]K=\IF_{2} \vektor{x \\ y\\ z } \mapsto \vektor{x^{2} + z \\ y^{3}}[/mm]
>
>
> Ich kann zeigen (i) ist linear, (ii) nicht !
>
> indem ich für (i) bzw (ii) zeige, dass für Linearität
>
> 1.) f: (v+v') = f: (v) + f: (v')
> 2.) f: (av) = a f: (v)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (i) erfüllt 1.) und 2.), (ii) nicht!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Nun meine Frage,
>
> bei (iii) 1.) kann ich mit Fallunterscheidung machen
> [mm]\IF_{2}[/mm] hat ja nut 2 elemente {0,1}
>
> mit 0+0=0; 0+1=1; 1+1:=0
>
> damit kann ich dann fälle unterscheiden
>
>
> Vielleicht habt ihr ja nen Tipp wie es leichter geht.
Leider habe ich da keinen Tipp. Es sei denn, du findest ein Gegenbeispiel, dann reicht dieses natürlich. 
> Bei 2.) habe ich aber keine ahnung wie eine
> Skalarmultiplikation in einem
>
> [mm]\IF_{2}[/mm] - Vektorraum definiert ist.
>
>
> Gilt für a [mm]\vektor{x \\ y\\ z}[/mm] mit x, y, z [mm]\in \IF_{2}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{ax \\ ay\\ az}[/mm] und wenn ja, wie ist z.B. ax
> definiert????
Naja, ich würde sagen, sie ist genauso definiert wie z. B. auch in [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IR^2 [/mm] oder so. [mm] ax=\begin{cases} a, & \mbox{falls } x=1\\0, & \mbox{falls } x=0 \end{cases}
[/mm]
Oder was würde dagegen sprechen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Vielleicht habt ihr ja nen Tipp wie es leichter geht.
Unser Glück ist, dass wir uns im [mm] $\IF_{2}$ [/mm] befinden. Hier gilt (leicht nachzurechnen):
$x = [mm] x^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] = ...$ für alle Potenzen.
Also können wir vereinfachen:
[mm] $\vektor{x \\ y\\ z } \mapsto \vektor{x^{2} + z \\ y^{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x + z \\ y} [/mm] $
Das sieht doch schon ziemlich linear aus, oder?
Was die Skalarmultiplikation angeht, kann ich Bastiane nur zustimmen.
Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 So 12.11.2006 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank für eure Tipps, die helfen mir echt sehr, damit kann ich die Aufgabe lösen, Danke!
|
|
|
|
