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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Lineare abhänigigkeit
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Lineare abhänigigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Sa 19.06.2004
Autor: Spitfire

hallo!

sorry, weiß nicht wie ich die vektrosymbole benutzen kann. alle buchstaben im folgenden sind vektoren.
ich muss für heute abend noch ne aufgabe lösen.
die aufgabe lautet:
a,b,c sei linear unabhänig

x = 2a + 2b -c
y = 2a - b
z = 3a + 3/2b

gefragt ist, ob x,y,z linear abhänig oder unabhänig ist

danke für eure hilfe

mfg

Daniel



        
Bezug
Lineare abhänigigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Sa 19.06.2004
Autor: Marc

Hallo Daniel,

[willkommenmr]

>  a,b,c sei linear unabhänig
>  
> x = 2a + 2b -c
>  y = 2a - b
>  z = 3a + 3/2b
>  
> gefragt ist, ob x,y,z linear abhänig oder unabhänig ist

Die lineare Unabhängigkeit der Vektoren [mm] $\vec x,\vec y,\vec [/mm] z$ zeigst du, indem du nachweist, dass folgende Linearkombination

[mm] $r*\vec x+s*\vec y+t*\vec z=\vec [/mm] 0$

nur erfüllt ist, wenn $r=s=t=0$ gilt.

Setzen wir in diese Gleichung doch mal die Darstellungen der drei Vektoren ein:

[mm] $r*(2\vec a+2\vec b-\vec c)+s*(2\vec a-\vec b)+t*(3\vec a+\bruch{3}{2}\vec b)=\vec [/mm] 0$

Nun können wir die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren [mm] $\vec a,\vec b,\vec [/mm] c$ ausnutzen, d.h., wir formen diese Gleichung so um, dass wir --wie oben-- eine linear kombinierte Darstellung des Nullvektor erhalten:

[mm] $\gdw\ 2r*\vec a+2r*\vec b-r*\vec c+2s*\vec a-s*\vec b+3t*\vec a+\bruch{3}{2}t*\vec b=\vec [/mm] 0$

[mm] $\gdw\ (2r+2s+3t)*\vec a+2r*\vec b-r*\vec c-s*\vec b+\bruch{3}{2}t*\vec b=\vec [/mm] 0$

[mm] $\gdw\ (2r+2s+3t)*\vec a+(2r-s+\bruch{3}{2}t)*\vec b-r*\vec c=\vec [/mm] 0$

[mm] $\gdw\ (2r+2s+3t)*\vec a+\left(2r-s+\bruch{3}{2}t\right)*\vec b-r*\vec c=\vec [/mm] 0$

Da die drei Vektoren [mm] $\vec a,\vec b,\vec [/mm] c$ nun linear unabhängig sind, kann die obige Gleichung nur erfüllt sein, wenn die Koeffizienten der Vektoren alle Null sind; dies wiederum in Gleichungen ausgedrückt:

[mm]\begin{array}{r|lcl} 1&2r+2s+3t&=&0\\ &2r-s+\bruch{3}{2}t&=&0\\ &-r&=&0\end{array}[/mm]

Aus der letzten Gleichung folgt bereits $r=0$, eingesetzt in die ersten beiden Gleichungen:

[mm]\begin{array}{r|lcl} 2&2s+3t&=&0\\ &\red{-}s+\bruch{3}{2}t&=&0\\ &r&=&0\end{array}[/mm]

Die zweite Gleichung mit 2 multipliziert:

[mm]\begin{array}{r|lcl} 3&2s+3t&=&0\\ &\red{-}2s+3t&=&0\\ &r&=&0\end{array}[/mm]

Die erste Gleichung von der zweiten subtrahiert:
Korrektur: Die erste Gleichung zu der zweiten addiert:

[mm]\begin{array}{r|lcl} 4&2s+3t&=&0\\ &\red{6t}&=&0\\ &r&=&0\end{array}[/mm]

Nun sieht man sehr schön, dass nicht zwingend folgt, dass man $r=s=t=0$ wählen muß, sondern dass auch $s=3,t=-2,r=0$ eine Lösung ist.
Gehen wir mal zu unserem anfänglichen Ansatz zurück und setzen dort unsere Beispielwerte für r,s,t ein:




Mit anderen Worten: Der Nullvektor läßt sich mit einer nicht-trivialen Linearkombination der drei Vektoren [mm] $\vec x,\vec y,\vec [/mm] z$ darstellen, so dass diese nicht linear unabhängig sein können.

Korrektur: Nun folgt aus der zweiten Gleichung $t=0$ und damit aus der ersten Gleichung $s=0$. Die Darstellung des Nullvektors ist also nur auf triviale Art und Weise möglich, woraus die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren [mm] $\vec x,\vec y,\vec [/mm] z$ folgt.

Wenn du Fragen hast, stelle sie einfach :-)!

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
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Lineare abhänigigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Sa 19.06.2004
Autor: Spitfire

ich glaube du hast beim lösen des gleichungssystems zwishen schritt 1 und 2 ein minus vergessen

Bezug
                        
Bezug
Lineare abhänigigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 Sa 19.06.2004
Autor: Marc

Hallo Spitfire,

> ich glaube du hast beim lösen des gleichungssystems zwishen
> schritt 1 und 2 ein minus vergessen

Danke, habe ich korrigiert.
Ich nehme an, du hast das Vorgehen trotz meines Fehlers bereits verstanden.

Viele Grüße,
Marc


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