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Lineare Abhängigkeit: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Sa 07.04.2018
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Was kann man über die lineare Abhängigkeit des Summenvektors und des Differenzenvektors zweier linear unabhängiger Vektoren aussagen?

Bei dieser Aufgabe kenne ich die Lösung:
Vektoren sind linear unabhängig
Allerdings verstehe ich nicht, warum dies so ist.

        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Sa 07.04.2018
Autor: angela.h.b.

Hallo,

rechnerisch sieht man es so:

wenn [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind,
folgt aus [mm] r\vec{a}+s\vec{b}=\vec{0}, [/mm] daß r=s=0.

Sei nun
[mm] \vec{u}=\vec{a}+\vec{b}, [/mm]
[mm] \vec{v}=\vec{a}-\vec{b}, [/mm]

und sei
[mm] k\vec{u}+l\vec{v}=\vec{0}. [/mm]

Wenn hieraus nun zwingend folgt, daß k=l=0, dann sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
Schauen wir mal nach:

[mm] k\vec{u}+l\vec{v}=\vec{0} [/mm]
<==>
[mm] (k+l)\vec{a}+(k-l)\vec{b}=\vec{0}. [/mm]

Da [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] nach Voraussetzung linear unabhängig sind, folgt k+l=0 und k-l=0,
und hieraus k=l=0.
Also sind [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] linear unabhängig.


Zeichnerisch/anschaulich:
in dem von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten Parallelogramm sind der Summen- und Differensvektor die beiden Diagonalen, welche offenbar keine Vielfachen voneinander sind.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Sa 07.04.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Zeichnerisch/anschaulich:

> in dem von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] aufgespannten
> Parallelogramm sind der Summen- und Differensvektor die
> beiden Diagonalen, welche offenbar keine Vielfachen
> voneinander sind.


Damit man wirklich ein "echtes" Parallelogramm (mit positiven
Seitenlängen und positivem Flächeninhalt) erhält, ist natürlich
die Voraussetzung wichtig, dass weder [mm] $\vec{a}$ [/mm] noch [mm] $\vec{b}$ [/mm] etwa der Null-
vektor sein könnte. Aber auch dies folgt natürlich aus der
vorausgesetzten Unabhängigkeit von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] .
Ich wollte dies nur zur Präzisierung erwähnen.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
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