Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Was kann man über die lineare Abhängigkeit des Summenvektors und des Differenzenvektors zweier linear unabhängiger Vektoren aussagen? |
Bei dieser Aufgabe kenne ich die Lösung:
Vektoren sind linear unabhängig
Allerdings verstehe ich nicht, warum dies so ist.
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Hallo,
rechnerisch sieht man es so:
wenn [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind,
folgt aus [mm] r\vec{a}+s\vec{b}=\vec{0}, [/mm] daß r=s=0.
Sei nun
[mm] \vec{u}=\vec{a}+\vec{b},
[/mm]
[mm] \vec{v}=\vec{a}-\vec{b},
[/mm]
und sei
[mm] k\vec{u}+l\vec{v}=\vec{0}.
[/mm]
Wenn hieraus nun zwingend folgt, daß k=l=0, dann sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
Schauen wir mal nach:
[mm] k\vec{u}+l\vec{v}=\vec{0}
[/mm]
<==>
[mm] (k+l)\vec{a}+(k-l)\vec{b}=\vec{0}.
[/mm]
Da [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] nach Voraussetzung linear unabhängig sind, folgt k+l=0 und k-l=0,
und hieraus k=l=0.
Also sind [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] linear unabhängig.
Zeichnerisch/anschaulich:
in dem von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten Parallelogramm sind der Summen- und Differensvektor die beiden Diagonalen, welche offenbar keine Vielfachen voneinander sind.
LG Angela
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> Zeichnerisch/anschaulich:
> in dem von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] aufgespannten
> Parallelogramm sind der Summen- und Differensvektor die
> beiden Diagonalen, welche offenbar keine Vielfachen
> voneinander sind.
Damit man wirklich ein "echtes" Parallelogramm (mit positiven
Seitenlängen und positivem Flächeninhalt) erhält, ist natürlich
die Voraussetzung wichtig, dass weder [mm] $\vec{a}$ [/mm] noch [mm] $\vec{b}$ [/mm] etwa der Null-
vektor sein könnte. Aber auch dies folgt natürlich aus der
vorausgesetzten Unabhängigkeit von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] .
Ich wollte dies nur zur Präzisierung erwähnen.
LG , Al-Chw.
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