Lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine kleine Frage zu Linearen Abbildungen:
Gilt für eine lineare Abbildung f(-x) = -x ?
Eine Eigenschaft von linearen Abbildungen ist doch, daß f( [mm] \lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) für [mm] \lambda \in \IR [/mm] ist. In diesem Fall wäre [mm] \lambda [/mm] = -1.
Aber wenn ich als Beispiel die Abbildung f(x)=5 nehmen, dann ist f(-1) nicht gleich -f(1). Was ist nun richtig, und warum?
Vielen Dank und schönen Gruß,
Jan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mo 09.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Jan
deine erste vermuteung - dass für lineare abbildungen [m] f [/m] stets [m] f(-x) = - f(x) [/m] gilt - ist korreket. die begründung hast du ja schon selbst geliefert.
überlege mal, ob sich bei deinem gegenbeispiel [m] f(x) = 5 [/m] überhaupt um eien lineare abbildung liefert (berechne z.b. mal, ob [m] f(1) + f(1) = f(1 + 1) = f(2) [/m] gilt) ?
andreas
|
|
|
| |
|
Achso, ich war irgendwie davon ausgegangen das einfach Funktionen wie Geraden oder Konstanten immer linear sind.
Danke für die schnelle Antwort!
Gruß, Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jan,
> Achso, ich war irgendwie davon ausgegangen das einfach
> Funktionen wie Geraden oder Konstanten immer linear sind.
Du verwechselst das glaube ich mit den "linearen Funktionen" f(x)=mx+b wie man sie aus der Schule kennt.
Diese linearen Funktionen sind nämlich nur linear, falls b=0 ist, wenn es sich also um Ursprungsgeraden handelt; vielleicht sollte man die "linearen Funktionen" deswegen besser "affine Funktionen" in der Schule nennen...
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Ja, kann gut sein daß ich das damit verwechselt habe.
Ich habe noch eine weitere Frage bezüglich linearer Abbildungen.
Was mache ich, wenn ich die Darstellungsmatrix einer Abbildung gegeben habe und zeigen soll, daß diese Abbildung linear ist?
Gruß, Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Jan!
> Ich habe noch eine weitere Frage bezüglich linearer
> Abbildungen.
> Was mache ich, wenn ich die Darstellungsmatrix einer
> Abbildung gegeben habe und zeigen soll, daß diese Abbildung
> linear ist?
Ich studiere nicht und weiß daher nicht, ob ein Unterschied zwischen "Darstellungsmatrix" und Matrix besteht. Falls es das Gleiche ist, kannst du jetzt weiterlesen, wenn nicht, dann schließe das Fenster. 
Hat man einen Vektorraumhomorphismus f: V --> W und zu V und W (beide über den gleiche Körper) endliche Basen [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] und [mm] (w_{1},...,w_{m}), [/mm] so kann man f vollständig durch eine mxn-Matrix beschreiben, denn die Spalten sind gerade die Bilder der Einheitsvektoren. (Wenn dir das nicht klar ist, dann frage bitte nach)
Wenn f aber nicht linear ist, also gar kein Vektorraumhomomorphismus, dann kann f gar nicht durch eine Matrix beschrieben werden. Also ist die Existenz einer die Abbildung beschreibenden Matrix nur möglich, wenn f linear ist.
Gruß Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Clemens und Jan!
> > Was mache ich, wenn ich die Darstellungsmatrix einer
>
> > Abbildung gegeben habe und zeigen soll, daß diese
> Abbildung
> > linear ist?
>
> Ich studiere nicht und weiß daher nicht, ob ein Unterschied
> zwischen "Darstellungsmatrix" und Matrix besteht. Falls es
> das Gleiche ist, kannst du jetzt weiterlesen, wenn nicht,
> dann schließe das Fenster.
>
> Hat man einen Vektorraumhomorphismus f: V --> W und zu V
> und W (beide über den gleiche Körper) endliche Basen
> [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] und [mm](w_{1},...,w_{m}),[/mm] so kann man f
> vollständig durch eine mxn-Matrix beschreiben, denn die
> Spalten sind gerade die Bilder der Einheitsvektoren. (Wenn
> dir das nicht klar ist, dann frage bitte nach)
>
> Wenn f aber nicht linear ist, also gar kein
> Vektorraumhomomorphismus, dann kann f gar nicht durch eine
> Matrix beschrieben werden. Also ist die Existenz einer die
> Abbildung beschreibenden Matrix nur möglich, wenn f linear
> ist.
Du beschreibst hier, wann zu einer Abbildung eine Darstellungsmatrix existiert und sagst:
Es ex. Darstellungsmatrix M zum Vektorraumhomomorphismus f [mm] $\gdw$ [/mm] f ist linear
Wir brauchen hier aber nur die Richtung "Es ex. Darstellungsmatrix M zur Abbildung f [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f ist linear".
Mit meinen Worten noch mal: Jede Abbildung, die durch eine Matrix dargestellt werden kann, ist bereits linear, da die durch eine Matrix beschriebene Abbildung immer linear ist.
Bei dieser Aufgabe ist also --meiner Meinung nach-- nichts zu zeigen, nur dieser Satz hinzuschreiben.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
