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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Linear unabhängig/abhängig
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Linear unabhängig/abhängig: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:24 So 23.11.2003
Autor: julia

Hallo!!

Könnt ihr uns bitte weiterhelfen??:0)
Wäre ganz lieb!!

Es seien v1, v2, v3 element V und V ein K-Vektorraum. Beweisen sie oder geben sie ein Gegenbsp an zu:

a) Ist (v1,v2) linear unabhängig und (v2, v3) linear unabhängig und (v3, v1) linear unabhängig, so ist (v1, v2, v3) linear unabhängig.

b) genau dann ist (v1, v2, v3) linear unabhängig, wenn (v1, v1+v2, v1+v2+v3)linear unabhängig ist.

Vielen Dank

Julia

        
Bezug
Linear unabhängig/abhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 So 23.11.2003
Autor: Marc

Hallo Julia,

bei dieser (wenn möglich sogar bei jeder) Aufgabe wäre es nett, wenn du/ihr uns eigene Gedanken/Ansätze/Vermutungen/Lösungen mitteilen würdet, denn einfach eure Aufgaben lösen zu lassen, kann ja nicht der Sinn eurer Übungsaufgaben und eines solchen Forums sein.
Wahrscheinlich habt ihr doch schon die Lösung oder wenigstens einen "Verdacht", dann nur raus damit :-).

Also, vielleicht können wir die Aufgaben ja doch noch zusammen erarbeiten. Bei (a) habe ich die Vermutung, dass die Behauptung falsch ist, ich habe da ein Gegenbeispiel mit drei Vektoren aus dem [mm]\IR^2[/mm] (also der Ebene) gefunden. Vielleicht kommt ihr ja auch darauf, falls nicht, reiche ich es gerne nach.

Bei (b) ist meine Vermutung: Richtig.
Der Beweis läuft zweiteilig ab, da es eine "genau dann wenn"-Aussage ist.

i. "[mm]\Rightarrow[/mm]": (v1, v2, v3) linear unabhängig [mm]\Rightarrow[/mm]  (v1, v1+v2, v1+v2+v3) linear unabhängig.

ii. "[mm]\Leftarrow[/mm]": (v1, v2, v3) linear unabhängig [mm]\Leftarrow[/mm]  (v1, v1+v2, v1+v2+v3) linear unabhängig.

Für beide Beweis-Richtungen würde ich mit der (oder zumindestens einer) Definition der linearen Unabhängigkeit beginnen, nämlich dass Vektoren linear unabhängig sind, genau dann wenn der Nullvektor nur durch eine "triviale" Linearkombination der Vektoren darstellbar ist. Das schreibe ich noch mal etwas formaler auf, damit ihr wisst, was ich meine:

[mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear unabhängig [mm]:\Leftrightarrow[/mm] [mm]\lambda_1*v_1 + \lambda_2*v_2 + \lambda_2*v_3=0 \Rightarrow \lambda_1=0,\lambda_2=0,\lambda_3=0[/mm]

Dann versucht, daraus eine entsprechende Gleichung für die drei anderen Vektoren zu erstellen.

Kommt ihr nun mit den Aufgaben klar?

Falls nicht, fragt bitte nach. In jedem Fall wäre es nett, wenn ihr noch kurz sagt, wie ihr mit meiner Antwort zurecht gekommen seid.

Bis gleich,
Marc


Bezug
                
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Linear unabhängig/abhängig: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:14 So 23.11.2003
Autor: julia

Hi!!

Ja wir haben schon unsere Ideen, nur wollt ich die nicht seitenweise aufschreiben!!
Sonst bringt es uns ja auch mehr, wenn wir "zusammen" überlegen!!
Versteh ich schon!
Also wir treffen uns gleich und werden dann mal sehn, ob wir alles insg. raus bekommen!! Wenns dann nicht zu spät ist, schrei ich dir unsere Ideen noch!!

Vielen Dank schon mal

Julia

Bezug
                        
Bezug
Linear unabhängig/abhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 23.11.2003
Autor: Marc

Hallo Julia,

danke, dass du dich noch mal gemeldet hast, ich hatte schon befürchtet, ich wäre zu "schroff" gewesen.

> Ja wir haben schon unsere Ideen, nur wollt ich die nicht
> seitenweise aufschreiben!!

Ja, klar, das verstehe ich, und wäre auch in den meisten Fällen überflüssig. Aber man kann seine Ideen ja auch ein bißchen andeuten oder skizzieren, und wenn wir das dann nicht verstehen, etwas detailierter nachreichen.

Zum Beispiel bei der (a) reicht ja die Angabe von drei (konkreten) Vektoren als Gegenbeispiel, und wir ihr die schon gefunden hättet, könnten wir das einfach überprüfen und müßten nicht auch noch welche finden. Ich hoffe, das kommt jetzt nicht unsympathisch rüber.

> Sonst bringt es uns ja auch mehr, wenn wir "zusammen"
> überlegen!!

Eben :-)

> Versteh ich schon!

> Also wir treffen uns gleich und werden dann mal sehn, ob wir
> alles insg. raus bekommen!! Wenns dann nicht zu spät ist,
> schrei ich dir unsere Ideen noch!!

Au ja! Das wäre nett.

Bis später dann,
Marc.


Bezug
                
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Linear unabhängig/abhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 23.11.2003
Autor: Nelly

Hallo,

nehmt doch einfach das Beispiel aus der Vorlesung mit
v1 = (1 -1), v2 = (1 0) und v3 = (1  1)
Viel Glück!

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Linear unabhängig/abhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 So 23.11.2003
Autor: Marc

Hallo Nelly und Julia,

> nehmt doch einfach das Beispiel aus der Vorlesung mit
> v1 = (1 -1), v2 = (1 0) und v3 = (1  1)

An so ein Beispiel hatte ich auch gedacht, genauer an dieselben Vektoren v2 und v3, aber mit v1=(0 1).

Dann wäre (a) ja schon gelöst :-)

Viele Grüße,
Marc

PS: Lustig, dass hier mehrere aus einer Vorlesung sind :-)


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