Lin. Abbildung 2x1 -> 4x1 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]$\sigma : \mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{4x1}$:[/mm] [mm] \pmat{ x & y \\ z & w } \to \vektor{x \\ y \\ z \\ w}.
[/mm]
Die Matrix [mm]$A =$ \\[/mm] [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
definiert auf [mm] \mathbb{R}^{2x2} [/mm] die Abbildung
[mm] \beta : \mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{2x2}: [/mm] [mm] \pmat{ x & y \\ z & w } \to [/mm] A [mm] \pmat{ x & y \\ z & w },
[/mm]
bzw. die Abbildung
[mm] \gamma : \mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{2x2}: [/mm] [mm] \pmat{ x & y \\ z & w } \to \pmat{ x & y \\ z & w } [/mm] A.
Zeige: [mm]\sigma \circ \beta \circ \sigma^{-1} : \mathbb{R}^{4x1} \to \mathbb{R}^{4x1}[/mm] bzw [mm]\sigma \circ \gamma \circ \sigma^{-1} : \mathbb{R}^{4x1} \to \mathbb{R}^{4x1}[/mm] sind lineare Abbildungen |
Hallo,
Oben genannte Aufgabe beschäftigt mich dezeit ein wenig ;)
Also für eine lineare Abbildung [mm]$f $: : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}[/mm] gilt ja
[mm] (i) f(x+y) = f(x) + f(y) \forall x,y \in : \mathbb{R}^{n}[/mm]
[mm](ii) f(a*x) = a*f(x) \forall a \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}^n [/mm]
Ich habe jetzt das Problem diese Eigenschaften auf eine Abbildung
[mm]$f : : \mathbb{R}^{n x 1} \to \mathbb{R}^{m x 1}[/mm] zu überrtragen.
Beispielsweise macht die Schreibweise:
[mm]$f( \pmat{ x & y \\ z & w}+\pmat{ x1 & y2 \\ z3 & w4 }) = f(\pmat{ x & y \\ z & w }) + f(\pmat{ x1 & y2 \\ z3 & w4 })[/mm]
für mich irgendwie gar keinen Sinn.
Also: Wie geh ich an diese Aufgabe ran, und was muss ich genau zeigen?
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Hallo NightmareVirus!
> Sei [mm][mm]\sigma : \mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{4x1}[/mm][mm] :[/mm] \pmat{ x & y \\ z & w } \to \vektor{x \\ y \\ z \\ w}.[/mm]
Die Matrix [mm][mm]A =[/mm] [mm]\\[/mm] \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> definiert auf [mm][mm]\mathbb{R}^{2x2} [/mm][/mm] die Abbildung[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm]\beta[/mm] : [mm]\mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{2x2}: [/mm] \pmat{ x & y \\ z & w } \to[/mm] A [mm]\pmat{ x & y \\ z & w },[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] bzw. die Abbildung[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] [mm][mm]\gamma[/mm] : [mm]\mathbb{R}^{2x2} \to \mathbb{R}^{2x2}: [/mm] \pmat{ x & y \\ z & w } \to \pmat{ x & y \\ z & w }[/mm] A.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm]Zeige: [mm][mm]\sigma \circ \beta \circ \sigma^{-1}[/mm] : [mm]\mathbb{R}^{4x1} \to \mathbb{R}^{4x1}[/mm][/mm] bzw [mm][mm]\sigma \circ \gamma \circ \sigma^{-1}[/mm] : [mm]\mathbb{R}^{4x1} \to \mathbb{R}^{4x1}[/mm][/mm] sind lineare Abbildungen[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm] Hallo,[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm] Oben genannte Aufgabe beschäftigt mich dezeit ein wenig ;)[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm]Also für eine lineare Abbildung [mm]$f $: : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}[/mm] gilt ja[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm](i) f(x+y) = f(x) + f(y) \forall x,y \in : \mathbb{R}^{n}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm](ii) f(a*x) = a*f(x) \forall a \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}^n[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm]Ich habe jetzt das Problem diese Eigenschaften auf eine Abbildung[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm]$f : : \mathbb{R}^{n x 1} \to \mathbb{R}^{m x 1}[/mm] zu überrtragen.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm]Beispielsweise macht die Schreibweise:[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm] [mm]$f( \pmat{ x & y \\ z & w}+\pmat{ x1 & y2 \\ z3 & w4 }) = f(\pmat{ x & y \\ z & w }) + f(\pmat{ x1 & y2 \\ z3 & w4 })[/mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm]für mich irgendwie gar keinen Sinn.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm][mm][mm][mm][mm]Also: Wie geh ich an diese Aufgabe ran, und was muss ich genau zeigen? [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
Wieso macht das keinen Sinn? Das macht durchaus Sinn! Im linken Fall kannst du die beiden Matrizen addieren und im rechten Fall kannst du die Funktionen "auswerten". Wo genau liegt dein Problem?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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