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Leibniz-Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Sa 30.06.2012
Autor: rollroll

Aufgabe
Prüfe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(\pi)^n}{(n+1)!} [/mm]

Ich verwende das Leibniz-Kriterium, muss also zeigen, dass die Folge [mm] a_n [/mm] =  [mm] \bruch{(\pi)^n}{(n+1)!} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist. Nullfolge konnte ich nachweisen, ich hänge bei der Monotonie, denn für [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} \ge [/mm] 1 erhalte ich nach Umformen: (n+2)/ [mm] \pi \ge [/mm] 1. Wenn ich aber n=1 ist, dann geht das schief und die Monotonie muss ja für alle n gelten... Kann ich daraus folgern: [mm] a_n [/mm] nicht monoton fallend --> Reihe divergiert?

        
Bezug
Leibniz-Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Sa 30.06.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> ... Nullfolge konnte ich nachweisen, ich hänge
> bei der Monotonie, denn für [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}} \ge[/mm] 1
> erhalte ich nach Umformen: (n+2)/ [mm]\pi \ge[/mm] 1. Wenn ich aber
> n=1 ist, dann geht das schief und die Monotonie muss ja
> für alle n gelten...

Irrtum: die Monotonie muss nur für fast alle Glieder gelten. Ein kleiner, aber entscheidender Unterschied.


Gruß, Diophant


Bezug
                
Bezug
Leibniz-Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Sa 30.06.2012
Autor: rollroll

bist du ganz sicher? Denn in meiner Mitschrift steht [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] IN... Hab auch extra noch mal in zwei Büchern geschaut, da stehts auch so...

Bezug
                        
Bezug
Leibniz-Kriterium: fast alle oder doch alle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Sa 30.06.2012
Autor: Helbig

Hallo rollroll,

> bist du ganz sicher? Denn in meiner Mitschrift steht
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] IN... Hab auch extra noch mal in zwei
> Büchern geschaut, da stehts auch so...

Bei allen Konvergenzkriterien kann man "für alle" durch "für fast alle" ersetzen, denn eine Reihe bleibt konvergent, auch wenn die ersten $N$ Glieder das Kriterium nicht erfüllen.

Gruß,
Wolfgang


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