Krümmung der Kurve berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Do 20.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Krümmung κ(t)der Kurve
x(t)= [mm] (\bruch{1+t^2}{t}, \bruch{1+t}{t},t) [/mm] t>0 |
Hallo!
weiß leider nicht ob ich auf den richtigen Weg bin.
x(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1+t^2}{t} \\ \bruch{1+t}{t} \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
Um den Krümmungsradius zu berechnen verwende ich folgende Formel:
κ(t)= [mm] \bruch {\left|x'(t) \times x''(t)\right|} {\left|x'(t)\right|^3}
[/mm]
Zu Beginn habe ich die erste und zweite Abtleitung von x(t) gemacht:
x'(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{-2t}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
x''(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{-2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
nun berechnen ich das Kreuzprodukt:
x'(t) [mm] \times [/mm] x''(t) = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{-2t}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{-2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{4t}{t^5}+\bruch{4}{t^5} \end{pmatrix}= \bruch{6}{t^3}+ \bruch{4t}{t^5}+\bruch{4}{t^5}
[/mm]
nun bilde ich den Betrag davon:
[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|= \wurzel{(\bruch{6}{t^3})^2+ (\bruch{4t}{t^5})^2+(\bruch{4}{t^5})^2
}= \wurzel{\bruch{36}{t^6}+ \bruch{16t}{t^1^0}+\bruch{16}{t^1^0}
}
[/mm]
Dieses Ergebnis für den Term in der Formel (unter Bruchstrich)
[mm] \left| x'(t) \right| [/mm] = [mm] \wurzel{(\bruch{-2t}{t^2})^2-(\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}= \wurzel{\bruch{4t^2}{t^4}-\bruch{1}{t^4}+1}
[/mm]
Wenn ich diese beiden Terme nun in die Formel einsetze kommt nichts brauchbares raus. Habe ich einen Rechenfehler?
Da in der Angabe t>0 steht, habe ich t=1 angenommen:
κ(t)= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{36}{t^6}+ \bruch{16t}{t^1^0}+\bruch{16}{t^1^0}
}}{ \wurzel{(\bruch{4t^2}{t^4}-\bruch{1}{t^4}+1})^3
} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{36}{1^6}+ \bruch{16}{1^1^0}+\bruch{16}{1^1^0}
}}{ \wurzel{(\bruch{64}{1^6}-\bruch{1}{1^4}+1})
}= \bruch{\wurzel{68}}{\wurzel{64}}= \bruch{\wurzel{68}}{8}
[/mm]
schönen Abend noch!
LG, Marie886
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
[mm] x(t)=\begin{pmatrix} \bruch{1+t^2}{t} \\ \bruch{1+t}{t} \\ t \end{pmatrix} [/mm]
für die Ableitungen habe ich nun die Quotientenregel und die Regel für Potenzfunktionén verwendet
x'(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
x''(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
x'(t) [mm] \times [/mm] x''(t) = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bruch{-2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2t^2-2}{t^5}+\bruch{2}{t^5} \end{pmatrix}=
[/mm]
[mm] \bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5} [/mm]
[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2-2}{t^5})^2+ (\bruch{2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4-4}{t^1^0}+\bruch{4}{t^1^0} }=
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4-4}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }=
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{0}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }=
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} }
[/mm]
[mm] \left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}= [/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{t^4-1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}=
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{t^4-1+1}{t^4}+1}=
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{t^4}{t^4}+1}=
[/mm]
[mm] \wurzel{1+1}=\wurzel{2} [/mm]
nun noch in die Formel einsetzen und hoffen das es richtig ist =)
κ(t)= [mm] \bruch {\left|x'(t) \times x''(t)\right|} {\left|x'(t)\right|^3}
[/mm]
κ(t)= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} }}{(\wurzel{2})^3 }= [/mm]
[mm] \bruch{2+2+2*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{2^2^/^3}=
[/mm]
[mm] \bruch{6*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1^2^/^3}=
[/mm]
[mm] \bruch{3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1}=
[/mm]
[mm] {3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}
[/mm]
So, dann hoff ich mal das dies nun richtig ist! Bitte um Feedback 
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Hallo Marie886,
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> [mm]x(t)=\begin{pmatrix} \bruch{1+t^2}{t} \\ \bruch{1+t}{t} \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> für die Ableitungen habe ich nun die Quotientenregel und
> die Regel für Potenzfunktionén verwendet
>
> x'(t)= [mm]\begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> x''(t)= [mm]\begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> x'(t) [mm]\times[/mm] x''(t) = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bruch{-2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2t^2-2}{t^5}+\bruch{2}{t^5} \end{pmatrix}=[/mm]
>
Mit dem Zusammenfassen der letzten Komponente
läßt sich unnötige Rechenarbeit vermeiden.
> [mm]\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5}[/mm]
>
> [mm]\left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2-2}{t^5})^2+ (\bruch{2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4-4}{t^1^0}+\bruch{4}{t^1^0} }=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4-4}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{0}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} }[/mm]
>
>
> [mm]\left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}=[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\wurzel{\bruch{t^4\red{-2*t^{2}}\blue{+}1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}=[/mm]
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-1+1}{t^4}+1}=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4}{t^4}+1}=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{1+1}=\wurzel{2}[/mm]
>
> nun noch in die Formel einsetzen und hoffen das es richtig
> ist =)
>
> κ(t)= [mm]\bruch {\left|x'(t) \times x''(t)\right|} {\left|x'(t)\right|^3}[/mm]
>
> κ(t)= [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} }}{(\wurzel{2})^3 }=[/mm]
>
> [mm]\bruch{2+2+2*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{2^2^/^3}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{6*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1^2^/^3}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1}=[/mm]
>
> [mm]{3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}[/mm]
>
> So, dann hoff ich mal das dies nun richtig ist! Bitte um
> Feedback
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Marie886 |
Danke MathePower!
stimmt, damit sinkt der Rechenaufwand um einiges :
[mm] \bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5} =\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2}{t^5}
[/mm]
[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4}{t^1^0} }= \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^6} }= \wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} }
[/mm]
[mm] \left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}= [/mm]
habe die binomische Formel nicht entdeckt gehabt.
[mm] \wurzel{\bruch{t^4-2t^2+1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}= [/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{t^4-2t^2+2}{t^4}+1}-->
[/mm]
[mm] \left| x'(t) \right|=\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}}
[/mm]
κ(t)= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} }}{(\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}})^3 }= [/mm]
[mm] \bruch{2*\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{1}{t^8} }}{\wurzel{8-\bruch{8}{t^6}+\bruch{8}{t^1^2}} }= [/mm]
[mm] \bruch{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{2\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}=
[/mm]
[mm] \bruch{{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}=
[/mm]
Kann ich das Ergebnis noch vereinfachen? Mit innen mal innen und außen mal außen?
So, wäre super wenn noch wer drüberschauen könnte
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Hallo Marie886,
> Danke MathePower!
>
> stimmt, damit sinkt der Rechenaufwand um einiges :
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> [mm]\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5} =\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2}{t^5}[/mm]
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> [mm]\left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4}{t^1^0} }= \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^6} }= \wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} }[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^{\blue{3}}})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2}[/mm]
> [mm]\left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}=[/mm]
>
> habe die binomische Formel nicht entdeckt gehabt.
>
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-2t^2+1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}=[/mm]
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> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-2t^2+2}{t^4}+1}-->[/mm]
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> [mm]\left| x'(t) \right|=\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}}[/mm]
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> κ(t)= [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} }}{(\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}})^3 }=[/mm]
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> [mm]\bruch{2*\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{1}{t^8} }}{\wurzel{8-\bruch{8}{t^6}+\bruch{8}{t^1^2}} }=[/mm]
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> [mm]\bruch{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}[/mm]
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> [mm]\bruch{2\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}=[/mm]
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> [mm]\bruch{{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}=[/mm]
>
> Kann ich das Ergebnis noch vereinfachen? Mit innen mal
> innen und außen mal außen?
>
> So, wäre super wenn noch wer drüberschauen könnte
>
Gruss
MathePower
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wenn du meinst dass das noch stehen muss:
[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^{\blue{3}}})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2}
[/mm]
meinst du damit dass ich diesen Ausdruck nicht ausrechnen muss und gleich so in meiner Formel für die Krümmungskurve einsetze?
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Guten Abend,
ich gebe dir mal die Lösung an, die ich auch mittels
Mathematica nachgeprüft und noch etwas umgeformt habe:
$\ [mm] \kappa(t)\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{\frac{3}{2}}*\left(\frac{t}{\sqrt{1-t^2+t^4}}\right)^3$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 23.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
