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Forum "Vektoren" - Krümmung der Kurve berechnen
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Krümmung der Kurve berechnen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Do 20.11.2014
Autor: Marie886

Aufgabe
Berechnen Sie die Krümmung κ(t)der Kurve

x(t)= [mm] (\bruch{1+t^2}{t}, \bruch{1+t}{t},t) [/mm] t>0

Hallo!

weiß leider nicht ob ich auf den richtigen Weg bin.

x(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1+t^2}{t} \\ \bruch{1+t}{t} \\ t \end{pmatrix} [/mm]

Um den Krümmungsradius zu berechnen verwende ich folgende Formel:


κ(t)=  [mm] \bruch {\left|x'(t) \times x''(t)\right|} {\left|x'(t)\right|^3} [/mm]


Zu Beginn habe ich die erste und zweite Abtleitung von x(t) gemacht:

x'(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{-2t}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

x''(t)= [mm] \begin{pmatrix} \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{-2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

nun berechnen ich das Kreuzprodukt:

x'(t) [mm] \times [/mm] x''(t) = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{-2t}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{-2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] =  [mm] \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{4t}{t^5}+\bruch{4}{t^5} \end{pmatrix}= \bruch{6}{t^3}+ \bruch{4t}{t^5}+\bruch{4}{t^5} [/mm]

nun bilde ich den Betrag davon:

[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|= \wurzel{(\bruch{6}{t^3})^2+ (\bruch{4t}{t^5})^2+(\bruch{4}{t^5})^2 }= \wurzel{\bruch{36}{t^6}+ \bruch{16t}{t^1^0}+\bruch{16}{t^1^0} } [/mm]

Dieses Ergebnis für den Term in der Formel (unter Bruchstrich)

[mm] \left| x'(t) \right| [/mm] =  [mm] \wurzel{(\bruch{-2t}{t^2})^2-(\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}= \wurzel{\bruch{4t^2}{t^4}-\bruch{1}{t^4}+1} [/mm]

Wenn ich diese beiden Terme nun in die Formel einsetze kommt nichts brauchbares raus. Habe ich einen Rechenfehler?

Da in der Angabe t>0 steht, habe ich t=1 angenommen:

κ(t)= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{36}{t^6}+ \bruch{16t}{t^1^0}+\bruch{16}{t^1^0} }}{ \wurzel{(\bruch{4t^2}{t^4}-\bruch{1}{t^4}+1})^3 } [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{36}{1^6}+ \bruch{16}{1^1^0}+\bruch{16}{1^1^0} }}{ \wurzel{(\bruch{64}{1^6}-\bruch{1}{1^4}+1}) }= \bruch{\wurzel{68}}{\wurzel{64}}= \bruch{\wurzel{68}}{8} [/mm]

schönen Abend noch!

LG, Marie886









        
Bezug
Krümmung der Kurve berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Do 20.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend Marie886

> Berechnen Sie die Krümmung κ(t)der Kurve
>
> x(t)= [mm](\bruch{1+t^2}{t}, \bruch{1+t}{t},t)[/mm] t>0
>  Hallo!
>  
> weiß leider nicht ob ich auf den richtigen Weg bin.
>  
> x(t)= [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1+t^2}{t} \\ \bruch{1+t}{t} \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Um den Krümmungsradius zu berechnen verwende ich folgende
> Formel:
>  
>
> κ(t)=  [mm]\bruch {\left|x'(t) \times x''(t)\right|} {\left|x'(t)\right|^3}[/mm]     [ok]

Die Formel stimmt.

> Zu Beginn habe ich die erste und zweite Ableitung von x(t)
> gemacht:
>  
> x'(t)= [mm]\begin{pmatrix} \bruch{-2t}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]     [notok]

Leider ist schon die erste Komponente falsch (die anderen stimmen).
  

> x''(t)= [mm]\begin{pmatrix} \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{-2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]   [notok]

Jetzt ist auch in der zweiten Komponente noch ein
Fehler ...


> nun berechne ich das Kreuzprodukt:
>
> x'(t) [mm]\times[/mm] x''(t) = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{-2t}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{-2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> =  [mm] \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{4}{t^3} \\ \bruch{4t}{t^5}+\bruch{4}{t^5} \end{pmatrix}= \bruch{6}{t^3}+ \bruch{4t}{t^5}+\bruch{4}{t^5}[/mm]
>  
> nun bilde ich den Betrag davon:
>
> [mm]\left| x'(t) \times x''(t) \right|= \wurzel{(\bruch{6}{t^3})^2+ (\bruch{4t}{t^5})^2+(\bruch{4}{t^5})^2 }= \wurzel{\bruch{36}{t^6}+ \bruch{16t}{t^1^0}+\bruch{16}{t^1^0} }[/mm]
>  
> Dieses Ergebnis für den Term in der Formel (unter
> Bruchstrich)
>  
> [mm]\left| x'(t) \right|[/mm] =  
> [mm]\wurzel{(\bruch{-2t}{t^2})^2-(\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}= \wurzel{\bruch{4t^2}{t^4}-\bruch{1}{t^4}+1}[/mm]
>  
> Wenn ich diese beiden Terme nun in die Formel einsetze
> kommt nichts brauchbares raus. Habe ich einen Rechenfehler?
>
> Da in der Angabe t>0 steht, habe ich t=1 angenommen:     [haee]

Es ist sicher nicht gemeint, dass man für t einen konkreten
Zahlenwert einsetzen soll !
  

> κ(t)= [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{36}{t^6}+ \bruch{16t}{t^1^0}+\bruch{16}{t^1^0} }}{ \wurzel{(\bruch{4t^2}{t^4}-\bruch{1}{t^4}+1})^3 }[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{36}{1^6}+ \bruch{16}{1^1^0}+\bruch{16}{1^1^0} }}{ \wurzel{(\bruch{64}{1^6}-\bruch{1}{1^4}+1}) }= \bruch{\wurzel{68}}{\wurzel{64}}= \bruch{\wurzel{68}}{8}[/mm]
>  
> schönen Abend noch!

Dir ebenfalls !

LG  ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Krümmung der Kurve berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Fr 21.11.2014
Autor: Marie886


[mm] x(t)=\begin{pmatrix} \bruch{1+t^2}{t} \\ \bruch{1+t}{t} \\ t \end{pmatrix} [/mm]

für die Ableitungen habe ich nun die Quotientenregel und die Regel für Potenzfunktionén verwendet

x'(t)=  [mm] \begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

x''(t)=  [mm] \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]


x'(t)  [mm] \times [/mm]  x''(t) = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bruch{-2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2t^2-2}{t^5}+\bruch{2}{t^5} \end{pmatrix}= [/mm]
[mm] \bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5} [/mm]

[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2-2}{t^5})^2+ (\bruch{2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4-4}{t^1^0}+\bruch{4}{t^1^0} }= [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4-4}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }= [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{0}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }= [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} } [/mm]


[mm] \left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}= [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{t^4-1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}= [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{t^4-1+1}{t^4}+1}= [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{t^4}{t^4}+1}= [/mm]

[mm] \wurzel{1+1}=\wurzel{2} [/mm]  

nun noch in die Formel einsetzen und hoffen das es richtig ist =)

κ(t)= [mm] \bruch {\left|x'(t) \times x''(t)\right|} {\left|x'(t)\right|^3} [/mm]

κ(t)= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} }}{(\wurzel{2})^3 }= [/mm]

[mm] \bruch{2+2+2*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{2^2^/^3}= [/mm]

[mm] \bruch{6*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1^2^/^3}= [/mm]

[mm] \bruch{3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1}= [/mm]

[mm] {3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}} [/mm]

So, dann hoff ich mal das dies nun richtig ist! Bitte um Feedback :-)


  



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Bezug
Krümmung der Kurve berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Fr 21.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Marie886,



>  
> [mm]x(t)=\begin{pmatrix} \bruch{1+t^2}{t} \\ \bruch{1+t}{t} \\ t \end{pmatrix}[/mm]
>
> für die Ableitungen habe ich nun die Quotientenregel und
> die Regel für Potenzfunktionén verwendet
>  
> x'(t)=  [mm]\begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> x''(t)=  [mm]\begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>


[ok]


>
> x'(t)  [mm]\times[/mm]  x''(t) = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{t^2-1}{t^2} \\ \bruch{-1}{t^2} \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bruch{-2}{t^3} \\ \bruch{2}{t^3} \\ \bruch{2t^2-2}{t^5}+\bruch{2}{t^5} \end{pmatrix}=[/mm]
>  


Mit dem Zusammenfassen der letzten Komponente
läßt  sich unnötige Rechenarbeit vermeiden.


> [mm]\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5}[/mm]
>
> [mm]\left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2-2}{t^5})^2+ (\bruch{2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4-4}{t^1^0}+\bruch{4}{t^1^0} }=[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4-4}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }=[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{0}{t^6}+\bruch{4}{t^1^0} }=[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} }[/mm]
>  
>
> [mm]\left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}=[/mm]
>


Hier muss es doch lauten:

[mm]\wurzel{\bruch{t^4\red{-2*t^{2}}\blue{+}1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}=[/mm]


> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-1+1}{t^4}+1}=[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4}{t^4}+1}=[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{1+1}=\wurzel{2}[/mm]  
>
> nun noch in die Formel einsetzen und hoffen das es richtig
> ist =)
>
> κ(t)= [mm]\bruch {\left|x'(t) \times x''(t)\right|} {\left|x'(t)\right|^3}[/mm]
>  
> κ(t)= [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^1^0} }}{(\wurzel{2})^3 }=[/mm]
>
> [mm]\bruch{2+2+2*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{2^2^/^3}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{6*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1^2^/^3}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}{1}=[/mm]
>  
> [mm]{3*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}+\bruch{1}{t^1^0}}}[/mm]
>  
> So, dann hoff ich mal das dies nun richtig ist! Bitte um
> Feedback :-)
>  


Gruss
MathePower

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Krümmung der Kurve berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Fr 21.11.2014
Autor: Marie886

Danke MathePower!

stimmt, damit sinkt der Rechenaufwand um einiges :

[mm] \bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5} =\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2}{t^5} [/mm]

[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4}{t^1^0} }= \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^6} }= \wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} } [/mm]

[mm] \left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}= [/mm]

habe die binomische Formel nicht entdeckt gehabt.

[mm] \wurzel{\bruch{t^4-2t^2+1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}= [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{t^4-2t^2+2}{t^4}+1}--> [/mm]

[mm] \left| x'(t) \right|=\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}} [/mm]


κ(t)= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} }}{(\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}})^3 }= [/mm]

[mm] \bruch{2*\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{1}{t^8} }}{\wurzel{8-\bruch{8}{t^6}+\bruch{8}{t^1^2}} }= [/mm]

[mm] \bruch{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}} [/mm]

[mm] \bruch{2\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}= [/mm]

[mm] \bruch{{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}= [/mm]

Kann ich das Ergebnis noch vereinfachen? Mit innen mal innen und außen mal außen?

So, wäre super wenn noch wer drüberschauen könnte












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Bezug
Krümmung der Kurve berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Fr 21.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Marie886,

> Danke MathePower!
>  
> stimmt, damit sinkt der Rechenaufwand um einiges :
>  
> [mm]\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2-2}{t^5}+ \bruch{2}{t^5} =\bruch{-2}{t^3}+ \bruch{2}{t^4}+\bruch{2t^2}{t^5}[/mm]
>  
> [mm]\left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^4})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2}=\wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4t^4}{t^1^0} }= \wurzel{\bruch{4}{t^6}+ \bruch{4}{t^8}+\bruch{4}{t^6} }= \wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} }[/mm]
>  


Hier muss doch stehen:

[mm]\left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^{\blue{3}}})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2}[/mm]


> [mm]\left| x'(t) \right| =\wurzel{(\bruch{t^2-1}{t^2})^2+(-\bruch{1}{t^2})^2+(1)^2}=[/mm]
>
> habe die binomische Formel nicht entdeckt gehabt.
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-2t^2+1}{t^4}+\bruch{1}{t^4}+1}=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{t^4-2t^2+2}{t^4}+1}-->[/mm]
>  
> [mm]\left| x'(t) \right|=\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}}[/mm]
>  


[ok]


>
> κ(t)= [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{4}{t^8} }}{(\wurzel{2-\bruch{2}{t^2}+\bruch{2}{t^4}})^3 }=[/mm]
>
> [mm]\bruch{2*\wurzel{\bruch{8}{t^6}+ \bruch{1}{t^8} }}{\wurzel{8-\bruch{8}{t^6}+\bruch{8}{t^1^2}} }=[/mm]
>
> [mm]\bruch{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{2*\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{{}\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^8}}}{\wurzel{8}*\wurzel{\bruch{1}{t^6}+\bruch{1}{t^1^2}}}=[/mm]
>  
> Kann ich das Ergebnis noch vereinfachen? Mit innen mal
> innen und außen mal außen?
>
> So, wäre super wenn noch wer drüberschauen könnte
>  


Gruss
MathePower

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Krümmung der Kurve berechnen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:12 Fr 21.11.2014
Autor: Marie886

wenn du meinst dass das noch stehen muss:

[mm] \left| x'(t) \times x''(t) \right|=\wurzel{(\bruch{-2}{t^3})^2+ (\bruch{2}{t^{\blue{3}}})^2+(\bruch{2t^2}{t^5})^2} [/mm]

meinst du damit dass ich diesen Ausdruck nicht ausrechnen muss und gleich so in meiner Formel für die Krümmungskurve einsetze?

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Krümmung der Kurve berechnen: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Fr 21.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend,

ich gebe dir mal die Lösung an, die ich auch mittels
Mathematica nachgeprüft und noch etwas umgeformt habe:

    $\ [mm] \kappa(t)\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{\frac{3}{2}}*\left(\frac{t}{\sqrt{1-t^2+t^4}}\right)^3$ [/mm]

LG  ,   Al-Chw.

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Krümmung der Kurve berechnen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 So 23.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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