Konvergenzverhalten v. Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Zu untersuchen ist das Konvergenzverhalten folgender Reihe in Abhängigkeit von x [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] \summe_{n=}^{ \infty}( x^n*n!)
[/mm]
Mein erster Schritt: Aufspaltung:
[mm] \summe_{n=}^{ \infty} x^n*\summe_{n=}^{ \infty}n!
[/mm]
Die 2. Reihe divergiert geg. unendlich für n [mm] \to \infty. [/mm] Divergiert mein Produkt dann automatisch auch?
Wenn nein: Meine 1. Reihe ist ja eine geometrische Reihe, die genau dann konvergiert, wenn 0 < x < 1 gilt.
Heißt das dann so viel, wie dass das Produkt der beiden Reihen konvergiert, sofern 0 < x < 1 gilt?
danke & lg
sonnenblumale
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Zu untersuchen ist das Konvergenzverhalten folgender Reihe
> in Abhängigkeit von x [mm]\in \IR:[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=}^{ \infty}( x^n*n!)[/mm]
>
> Mein erster Schritt: Aufspaltung:
> [mm]\summe_{n=}^{ \infty} x^n*\summe_{n=}^{ \infty}n![/mm]
Warum kannst du das denn so aufspalten? Also, ich weiß nicht, ob sich da in der Unendlichkeit noch etwas tut, aber für eine endliche Summe kannst du das nicht so aufspalten. Nehmen wir z. B.
[mm] \summe_{n=1}^3(x^n*n!)=x*1+x^2*2+x^3*6=x+2x^2+6x^3
[/mm]
aber [mm] \summe_{n=1}^3x^n*\summe_{n=1}^3n! [/mm] = [mm] (x+x^2+x^3)(1+2+6)=(x+x^2+x^3)*9=9x+9x^2+9x^3
[/mm]
Aber ist es nicht so, dass eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] ist, dass [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=0 [/mm] und da hier [mm] \lim_{n\to\infty}(x^n*n!)=\infty [/mm] kann die Reihe gar nicht konvergent sein.
Oder ich habe hier gerade etwas gewaltig durcheinander gebracht...
Vielleicht hilft es dir ja...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hallo!
Bastiane hat vollkommen recht: Diese Umformung darfst du nicht machen. Ein (relativ  ) einfaches Gegenbeispiel ist
[mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch 1{n^2}<\infty$, [/mm] aber [mm] $\left(\summe_{n=1}^\infty \bruch 1n\right)*\left(\summe_{n=1}^\infty \bruch 1n\right)=\infty$.
[/mm]
Hast du schon mal versucht, dass Quotientenkriterium auf diese Reihe anzuwenden?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Do 24.11.2005 | | Autor: | Didi |
Ich würde es, wie Banachella auch, mit dem Ouotientenkriterium versuchen.
Wenn du eine Aufgabe mit n! hast, empfiehlt sich meist das Quotientenkriterium, da sich die n! und (n+1)!=n!(n+1) ja einfach wegkürzen.
Didi
|
|
|
| |
|
Super, dankeschön für die Tipps!
lg
sonnenblumale
|
|
|
|
