www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius
Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 Mo 21.05.2012
Autor: db60

hallo,

ich verstehe nicht genau was ein Konvergenzradius sein soll oder was ich mir dadrunter vorstellen kann.
Also wenn ich die Potenzreihe vom Cosinus nehmen würde, würde dann der Konvergenzradius 1 sein ? Heißt das, dass der Betragsmäßig größte Wert der Konvergenzradius ist ?
Und wie bestimmte ich genau einen Konvergenzradius ?

        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:55 Mo 21.05.2012
Autor: leduart

Hallo
eine Reihe der Art  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_nx^n [/mm] konvergiert fuer alle |x|< Konvergenzradius. die Taylorreihe von cos etwa hat soweit ich mich erinnere den Konvergenzradius [mm] \infty. [/mm]
die formel, wie man ihn ausrechnet haengt mit dem Wurzel oder Quotientenkriterium  zusammen, und du kannst sie etwa in wiki nachlesen.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mo 21.05.2012
Autor: db60

http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

was ist genau mein [mm] a_{n}? [/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm]

Was wäre genau mein [mm] a_{n}? [/mm] Das hier?
[mm] (-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mo 21.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

genau so ist es. Die eigentliche Potenz von x sieht i.a. so aus:

[mm] (x-x_0)^k [/mm]

wobei in deinem Beispiel [mm] x_0=0 [/mm] ist.

Alles andere, was da sonst noch so als Faktoren dransteht, ist dein [mm] a_k. [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius: nicht ganz richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:29 Di 22.05.2012
Autor: Helbig


> Hallo,
>  
> genau so ist es.

Nicht ganz. Das Beispiel lautet ja [mm] $\sum_{k=0}^\infty \bruch {(-1)^k} [/mm] {(2k)!} [mm] x^{2k}$, [/mm] und da ist [mm] $a_k=0$ [/mm] für ungerade $k$.

Gruß,
Wolfgang

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Mo 21.05.2012
Autor: db60


> http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
>
> was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>  
> Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]  


Warum divergiert [mm] a_{n} [/mm] ? Müsste das nicht nach dem Leibniz-Kriterium konvergieren, weil es sich um eine monoton-fallende Nullfolge handelt ?

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Di 22.05.2012
Autor: schachuzipus

Hi db60,


> > http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
> >
> > was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
>  >  
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>  >  
> > Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> > [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]  
>
>
> Warum divergiert [mm]a_{n}[/mm] ? Müsste das nicht nach dem
> Leibniz-Kriterium konvergieren, weil es sich um eine
> monoton-fallende Nullfolge handelt ?  

Zunächst muss es [mm]a_{\red k}[/mm] lauten und nicht [mm]a_n[/mm]

Und wieso willst du Konvergenz von [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] untersuchen?

Jede Potenzreihe ist doch trivialerweise mindestens in ihrem Entwicklungspunkt konvergent.

Für deine Reihe kannst du das Kriterium von Cauchy-Hadamard hernehmen oder - in Anlehnung an das QK - [mm]\rho=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|[/mm] berechnen.

Der Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] ist [mm]\in [0,\infty][/mm] - soll heißen, dass ein unendlicher Konvergenzradius auch zugelassen ist.

Berechne mal für deine Potenzreihe das [mm]\rho[/mm] und du hast Konvergenz für [mm]\left|x^2\right|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]\left|x^2\right|>\rho[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius: QK geht nicht.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:38 Di 22.05.2012
Autor: Helbig


>  
> Für deine Reihe kannst du das Kriterium von
> Cauchy-Hadamard hernehmen oder - in Anlehnung an das QK -
> [mm]\rho=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|[/mm]
> berechnen.

Das klappt hier nicht, da [mm] $a_k=0$ [/mm] für ungerade $k$ ist und somit die Glieder der Quotientenfolge abwechselnd $0$ und [mm] $\infty$ [/mm] sind.

Gruß,
Wolfgang

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Koeffizienten der Potenzreihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:20 Di 22.05.2012
Autor: Helbig


> was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>  
> Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]  

Nein. [mm] $a_k$ [/mm] ist der Faktor mit dem [mm] $x^k$ [/mm] multipliziert wird. In Deinem Beispiel ist
[mm] $a_k= [/mm] 0$, falls $k$ ungerade ist und [mm] $a_k=\bruch {(-1)^{k/2}} [/mm] {k!}$ falls $k$ gerade ist.

Alles klar?

Wolfgang




Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mi 23.05.2012
Autor: db60


> > was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
>  >  
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>  >  
> > Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> > [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]  
>
> Nein. [mm]a_k[/mm] ist der Faktor mit dem [mm]x^k[/mm] multipliziert wird. In
> Deinem Beispiel ist
> [mm]a_k= 0[/mm], falls [mm]k[/mm] ungerade ist und [mm]a_k=\bruch {(-1)^{k/2}} {k!}[/mm]
> falls [mm]k[/mm] gerade ist.
>  
> Alles klar?
>  
> Wolfgang
>  
>
>  

Noch nicht ganz! Warum wird plötzlich beim Exponenent k durch 2 geteilt und warum verschwindet die 2 vor dem k! im Nenner. Und was bedeutet das wenn ich 2 Konvergenzradien raus habe und zwar 0 und [mm] \infty [/mm] ?
Und warum wird das [mm] a_{k}=0 [/mm] für ungerade k eigentlich seht doch dadurch nur ein -1 unter der Wurzel oder vertuhe ich mich da?  

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Mi 23.05.2012
Autor: fred97


> > > was ist genau mein [mm]a_{n}?[/mm] wenn eine Reihe z.B. so lautet :
>  >  >  
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>  >

>  >  
> > > Was wäre genau mein [mm]a_{n}?[/mm] Das hier?
> > > [mm](-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]  
> >
> > Nein. [mm]a_k[/mm] ist der Faktor mit dem [mm]x^k[/mm] multipliziert wird. In
> > Deinem Beispiel ist
> > [mm]a_k= 0[/mm], falls [mm]k[/mm] ungerade ist und [mm]a_k=\bruch {(-1)^{k/2}} {k!}[/mm]
> > falls [mm]k[/mm] gerade ist.
>  >  
> > Alles klar?
>  >  
> > Wolfgang
>  >  
> >
> >  

>
> Noch nicht ganz! Warum wird plötzlich beim Exponenent k
> durch 2 geteilt und warum verschwindet die 2 vor dem k!im
> Nenner


Also ... . Wir haben

(*) $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] $

Diese Potenzreihe wollen wir in der Form

(**) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] schreiben

In (*) stehen nur Potenzen von x mit geradem Exponenten !

Daher ist [mm] a_n [/mm] = 0 , wenn n ungerade ist.

Sei n gerade. Dann gibt es ein k [mm] \in \IN_0 [/mm] mit n=2k

Schau Dir das zugehörige Reihenglied in (**) und in (*) an:

    [mm] a_nx^n=a_{2k}x^{2k}= (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm]

Also ist

        [mm] a_n=a_{2k}= (-1)^{k} \bruch{1}{(2k)!} [/mm]

Wegen k=n/2 (n=2k) bekommen wir:

        [mm] a_n= (-1)^{n/2} \bruch{1}{n!} [/mm]




>

> Und was bedeutet das wenn ich 2 Konvergenzradien
> raus habe und zwar 0 und [mm]\infty[/mm] ?

Hä ? Das ist nicht möglich !

> Und warum wird das [mm]a_{k}=0[/mm] für ungerade k eigentlich seht
> doch dadurch nur ein -1 unter der Wurzel oder vertuhe ich
> mich da?  

Hab ich oben erklärt.

FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]