Konvergenz nachprüfen *wichtig < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 09.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | Untersuche für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}} [/mm] |
hallo, ich habe ein megaproblem. wir bekommen einmal im semester jeder eine aufgabe und müssen die dann am nächsten tag vorführen, damit wir zur klausur zu gelassen werden. ich dachte ich könnte bei der aufgabe eigentlich locker sagen, dass das eine nullfolge ist, aber da habe ich mich geirrt, da das ja eine reihe ist und nun habe ich keine ahnung wie das gehen soll,geschweige denn wie ich das morgen erklären können soll. ich hoffe mir kann jemand schnell helfen.bitte :-(
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Hallo Hiltrud,
bist du sicher, dass da im Nenner ein m und nicht ein n steht? Ansonsten ist mir nicht klar, wer oder was dieses m ist.
Grüße, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Do 09.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
oh ja ,da steht ein n und nicht m.ich änder es direkt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Fr 10.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
ich habe es nun mal wie folgt versucht:
zuerst umformen: an= [mm] \bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n}}{1+x^{n+n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n}}{1+x^{n}+x^{n}} =\bruch{1}{x^{n}+ \bruch{1}{x^{n}}}
[/mm]
jetzt setze ich [mm] b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{x^{n}} [/mm] ist majorante von [mm] \bruch{1}{x^{n}+ \bruch{1}{x^{n}}},also \bruch{1}{x^{n}+ \bruch{1}{x^{n}}} [/mm] <= [mm] \bruch{1}{x^{n}}
[/mm]
Also:
|x|>1:es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}=0 [/mm] -->reihe konvergiert
|x|=1:es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}=1---> [/mm] reihe divergiert, da die partialsumme unbeschränkt ist
[mm] |x|=-1:b_{n} [/mm] ist divergent, also ist die reihe auch divergent
für den fall |x| < 1 wähle ich eine andere majorante: Für alle x [mm] \in [/mm] IR gilt:
1 [mm] \le 1+x^{2*n}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}} \le x^{n}. [/mm] Also ist [mm] c_{n} [/mm] := [mm] x^{n} [/mm] die majorante von [mm] \bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}}
[/mm]
|x|<1: es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=0 [/mm] --> reihe konvergiert
ich hoffe ich habe es richtig gemacht, wenn das falsch ist kann ich morgen gleich einpacken. ich hoffe mir kann jemand helfen. ich bin echt verzweifelt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Fr 10.11.2006 | | Autor: | VNV_Tommy |
Hallo hiltrud!
> ich habe es nun mal wie folgt versucht:
>
> zuerst umformen: an= [mm]\bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^{n}}{1+x^{n+n}}[/mm] = [mm]\bruch{x^{n}}{1+\red{x^{n}+x^{n}}} =\bruch{1}{x^{n}+ \bruch{1}{x^{n}}}[/mm]
Ich habe zwar keine direkte Ahnung, wie der Beweis zu erbringen ist, habe jedoch leider einen [mm] \red{Umformungsfehler} [/mm] gefunden. Nach Potenzgestzen gilt:
[mm] x^{n+n}=x^{n}*x^{n}
[/mm]
Es müsste demnach gelten:
[mm] \bruch{x^{n}}{1+x^{n+n}}=\bruch{x^{n}}{1+x^{n}*x^{n}}
[/mm]
Wenn man das umformt erhält man:
[mm] \bruch{x^{n}}{x^{n}(\bruch{1}{x^{n}}+x^{n})}=\bruch{1}{(\bruch{1}{x^{n}}+x^{n})}
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja weiter. Viel Erfolg!
Gruß,
Tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hiltrud
Nur ein Minifehler und nur ein Schreibfehler
> ich habe es nun mal wie folgt versucht:
>
> zuerst umformen: an= [mm]\bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^{n}}{1+x^{n+n}}[/mm] = [mm]\bruch{x^{n}}{1+x^{n}+x^{n}} =\bruch{1}{x^{n}+ \bruch{1}{x^{n}}}[/mm]
>
> jetzt setze ich [mm]b_{n}[/mm] := [mm]\bruch{1}{x^{n}}[/mm] ist majorante von
> [mm]\bruch{1}{x^{n}+ \bruch{1}{x^{n}}},also \bruch{1}{x^{n}+ \bruch{1}{x^{n}}}[/mm]
> <= [mm]\bruch{1}{x^{n}}[/mm]
> Also:
> |x|>1:es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}=0[/mm] -->reihe
> konvergiert
> |x|=1:es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}=1--->[/mm]
> reihe divergiert, da die partialsumme unbeschränkt ist
> [mm]|x|=-1:b_{n}[/mm] ist divergent, also ist die reihe auch
> divergent
1. da hast du nicht gesagt warum
2. Man kann nicht schreiben |x|=-1 Betrag ist IMMER [mm] \ge0 [/mm]
aber du meinst ja x=-1
bn alternieren +1/2 und -1/2 also divergent
> für den fall |x| < 1 wähle ich eine andere majorante: Für
> alle x [mm]\in[/mm] IR gilt:
> 1 [mm]\le 1+x^{2*n}[/mm]
> [mm]a_{n}=\bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}} \le x^{n}.[/mm]
> Also ist [mm]c_{n}[/mm] := [mm]x^{n}[/mm] die majorante von
> [mm]\bruch{x^{n}}{1+x^{2*n}}[/mm]
> |x|<1: es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=0[/mm] -->
> reihe konvergiert
>
> ich hoffe ich habe es richtig gemacht, wenn das falsch ist
> kann ich morgen gleich einpacken. ich hoffe mir kann jemand
> helfen. ich bin echt verzweifelt
Du brauchst ja kaum noch Hilfe, pack wieder aus, hör dich bei den anderen um, Die verzweiflung in den ersten 2 Monaten ist leider einprogrammiert, es tröstet, dass es nur wenigen Überfliegern nicht so geht!
Gruss leduart
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und das so richtig?die aufgabe habe ich auch. aber ich verstehe nicht wieso [mm] b_{n} [/mm] für x=-1 divergiert. auchw enn ich nicht beteiligt bin,kann das vielleicht jemand erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe Antwort an hiltrud.
Und ja, man kann sich immer an jeder Diskussion beteiligen.
vielleicht hättest du einfach mal x=-1 eingesetzt, und dann ein bissel die Summe angesehen? Es hilft oft für Ideen - nicht als Beweis- die ersten paar Glieder ner Folge anzugucken!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Fr 10.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
also muss ich nochs chreiben, das [mm] b_{n} [/mm] divergiert da [mm] b_{n} [/mm] alternierend ist?
also z.b mit - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und + {1}{2} ???
wenn ja habe ich es verstanden
und kannst du mir wohl verraten, wieso das [mm] c_{n} [/mm] unten gegen null konvergiert? das hab eich nur geraten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hiltrud
[mm] \summe_{i=1}^{n}x^i [/mm] ist die geometrische Reihe, sie konv. für x<1 vieleicht erkennst du sie wieder wenn du statt x q schreibst?
Die geometrische Reihe ist eigentlich eines der wchtigsten "Werkzeuge" bei Konvergenzbeweisen mit Majoranten!
zu x=-1 [mm] b_n=(-1)^n*1/2, [/mm] das heisst die Folge [mm] S_n=\summe_{i=1}^{n}b_i [/mm] hat 2 Häufungspunkte : 0 und -1/2 ist also divergent-
Gruss leduart
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