Konvergenz einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich habe hier eine Reihe:
[mm] a_n [/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n + 3} [/mm]
Ich vermute die Reihe ist konvergent, vorgegangen bin ich wie folgt:
ich habe das Ganze nach Majorantenkriterium größer abgeschätzt und zwar so:
[mm] b_n [/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n} [/mm]
Damit kann ich das [mm] (-1)^n [/mm] auch nach oben ziehen, so dass ich die folgende Reihe habe:
[mm] b_n [/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n} [/mm]
Die Reihe konvergiert nach dem Leibnitzkriterium offensichtlich (n [mm] \to \infty [/mm] => [mm] b_n \to [/mm] 0 und monoton fallend).
Daraus habe ich gefolgert, dass [mm] b_n [/mm] nach Leibnitz und damit [mm] a_n [/mm] nach dem Majorantenkriterium konvergiert.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:44 So 15.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo TheBigTicket!
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n + 3}[/mm]
>
> Ich vermute die Reihe ist konvergent, vorgegangen bin ich
> wie folgt:
> ich habe das Ganze nach Majorantenkriterium größer
> abgeschätzt und zwar so:
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n}[/mm]
Das ist richtig, allerdings für n>1 (für n=0 ist deine Majorante übrigens gar nicht definiert).
Dass [mm] b_n [/mm] nur bis auf endliche viele n eine Majorante ist, ist aber natürlich unerheblich
Korrektur: Das ist zwar richtig, allerdings für n>1 (für n=0 ist deine Majorante übrigens gar nicht definiert).
Dass [mm] b_n [/mm] nur bis auf endliche viele n eine Majorante ist, ist aber natürlich unerheblich.
Aber aus der Konvergenz der Majorante kann hier nicht auf die Konvergenz der majorisierten Folge geschlossen werden, da nicht die Absolutbeträge majorisiert werden.
> Damit kann ich das [mm](-1)^n[/mm] auch nach oben ziehen, so dass
> ich die folgende Reihe habe:
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2n}[/mm]
>
> Die Reihe konvergiert nach dem Leibnitzkriterium
> offensichtlich (n [mm]\to \infty[/mm] => [mm]b_n \to[/mm] 0 und monoton
> fallend).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daraus habe ich gefolgert, dass [mm]b_n[/mm] nach Leibnitz und damit
> [mm]a_n[/mm] nach dem Majorantenkriterium konvergiert.
>
> Ist das so richtig?
Ja, ich sehe keinen Fehler. Korrektur: Siehe oben.
Viele Grüße,
Marc
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Danke für die schnelle Antwort!
Sollte es jemals einen Wettbewerb geben, in dem das am besten durchdachte Forum geehrt wird, habt ihr meine Stimme!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 So 15.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi ;)
Du kannst ja auch ein wenig Werbung machen, das reicht schon :-D
Gruß,
Hanno
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Die ganze Argumentation überzeugt mich nicht. Meiner Meinung nach gilt das Majorantenkriterium nur für die absolute Konvergenz.
Aber den Aufwand braucht es auch gar nicht. Es gilt nämlich, wenn man
[mm]a_n=\bruch{1}{3+(-1)^n2n}[/mm] für [mm]n\ge0[/mm]
setzt:
[mm] a_{2n+3}=\bruch{1}{3-2(2n+3)}=-\bruch{1}{3+4n}=-a_{2n} [/mm] für [mm]n\ge0[/mm]
Daraus folgt:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n=a_1=1[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 15.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Leopold!
> Die ganze Argumentation überzeugt mich nicht. Meiner
> Meinung nach gilt das Majorantenkriterium nur für die
> absolute Konvergenz.
Stimmt auffällig. Keine Posts mehr für mich nach 22 Uhr.
Danke,
Marc
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das heißt dann also das die folge trotzdem konvergent ist, da sie 1 ist.
ist meine argumentation damit falsch, zu viel des guten, oder "auch" richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, deine Argumentation ist leider komplett falsch, aus den genannten Gründen (Majoranten machen nur für positive Summanden Sinn).
Aber der (jetzt zurecht ergänzte) Beweis von Leopold ist dir doch einsichtig, denke ich mal, oder?
Liebe Grüße
Stefan
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Ich habe gerade mal, einfach für n > 1 Werte eingesetzt (für die ursprüngliche Folge und meine Abschätzung:
Für die urprüngliche Reihe([mm] \sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n+3} [/mm])::
[mm]{1 \br 7}, {-1 \br 3 }, {1 \br 11}, {-1 \br 7}, ...[/mm]
Für meine Abschätzung ([mm] \sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n} [/mm]):
[mm]{1 \br 4}, {-1 \br 6 }, {1 \br 8}, {-1 \br 10}, ...[/mm]
Damit hätte ich die Reihe doch eindeutig vergrößert, und durch die das "alternierende Element" der Reihe müsste auch meine Variante mit dem Leibnitzkriterium greifen, oder?
Würde den aus der Argumentation von "Leopold_Gast" folgen, das die Reihe divergent ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo TheBigTicket!
> Ich habe gerade mal, einfach für n > 1 Werte eingesetzt
> (für die ursprüngliche Folge und meine Abschätzung:
>
> Für die urprüngliche Reihe([mm] \sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n+3} [/mm])::
>
> [mm]{1 \br 7}, {-1 \br 3 }, {1 \br 11}, {-1 \br 7}, ...[/mm]
>
> Für meine Abschätzung ([mm] \sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(-1)^n 2n} [/mm]):
>
> [mm]{1 \br 4}, {-1 \br 6 }, {1 \br 8}, {-1 \br 10}, ...[/mm]
>
>
> Damit hätte ich die Reihe doch eindeutig vergrößert, und
Die Abschätzung war ja auch richtig, nur wendest du ja das Majorantenkriterium an, dazu müssen aber die Absolutbeträge majorisiert werden (und ist auch noch Voraussetzung für die Anwendung des majorantenkriteriums, dass die Majorante nicht-negativ Reihenglieder hat).
Ansonsten könnte man doch auch zeigen, dass [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] -n$ konvergiert:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} -n\le \summe_{n=0}^{\infty} \left(\bruch{1}{2}\right)^n=2$
[/mm]
denn $-n [mm] \le \left(\bruch{1}{2}\right)^n\ [/mm] \ [mm] \forall n\in\IN$.
[/mm]
> durch die das "alternierende Element" der Reihe müsste auch
> meine Variante mit dem Leibnitzkriterium greifen, oder?
> Würde den aus der Argumentation von "Leopold_Gast" folgen,
> das die Reihe divergent ist?
Nein, er hat doch gerade gezeigt, dass sie konvergiert? Verstehe ich dich falsch?
Viele Grüße,
Marc
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Okay, jetzt ists klar.
Die Voraussetzung, das die Majorante nicht-negative Reihenglieder hat, war mir schlicht weg nicht bekannt. Mit negativen Reihengliedern macht das auch wenig Sinn, wie man ja schön an deinem Beispiel sieht.
Wieder was gelernt! Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo TheBigTicket!
> Wieder was gelernt! Danke!
Ich auch 
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 So 15.08.2004 | | Autor: | Micha |
> Die ganze Argumentation überzeugt mich nicht. Meiner
> Meinung nach gilt das Majorantenkriterium nur für die
> absolute Konvergenz.
> Aber den Aufwand braucht es auch gar nicht. Es gilt
> nämlich, wenn man
> [mm]a_n=\bruch{1}{3+(-1)^n2n}[/mm] für [mm]n\ge0[/mm]
> setzt:
> [mm]a_{2n+3}=\bruch{1}{3-2(2n+3)}=-\bruch{1}{3+4n}=-a_{2n}[/mm] für
> [mm]n\ge0[/mm]
> Daraus folgt:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n=a_1=1[/mm]
>
Woraus folgerst du das? Angenommen ich habe die Folge:
[mm]a_1 = 1 , a_2 =2 , a_3 =3 , a_4 =4 , a_5 = -2 , a_6 =6 , a_7 =-4 , a_8 = 8 , a_9 = -6 , a_{10} = 10 , a_{11} = -8 \dots[/mm]
Wie schließt du darauf, dass ich in der Summe auf 1 komme für alle n?
Das wäre genauso als wenn ich sage die Folge
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n=0[/mm] für
[mm](a_n) = 1, 1, -1 , 1, 1, -1, 1,1, -1, 1,1 ,-1, \dots [/mm] konvergiert gegen 0 weil ich nur das jeweils 1. und dritte Folgenglied betrachte.. ?
Für mich ist die Argumentation nicht stichhaltig.
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Meine Argumentation ist richtig, aber natürlich nicht vollständig.
Man beachte: [mm]a_n \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
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