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Konvergenz Matrizen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Di 06.11.2012
Autor: kalifat

Aufgabe
Wenn [mm] A_j [/mm] -> A und [mm] B_j [/mm] -> B dann [mm] A_j*B_j [/mm] -> AB

Es handelt sich um die Supremumsnorm.

Ich habe es mir so überlegt: [mm] A_j [/mm] -> A , d.h [mm] \parallel A-A_j\parallel<\epsilon_1 [/mm]

[mm] B_j [/mm] -> B, d.h [mm] \parallel B-B_j\parallel<\epsilon_2 [/mm]

=> [mm] \parallel AB-A_j*B_j\parallel<\parallel A-A_j\parallel\parallel B-B_j\parallel<\epsilon [/mm]

wegen [mm] \parallel AB\parallel<\parallel A\parallel\parallel B\parallel [/mm]

Stimmt das so?
        
Bezug
Konvergenz Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Di 06.11.2012
Autor: fred97


> Wenn [mm]A_j[/mm] -> A und [mm]B_j[/mm] -> B dann [mm]A_j*B_j[/mm] -> AB
>  Es handelt sich um die Supremumsnorm.
>  
> Ich habe es mir so überlegt: [mm]A_j[/mm] -> A , d.h [mm]\parallel A-A_j\parallel<\epsilon_1[/mm]
>  
> [mm]B_j[/mm] -> B, d.h [mm]\parallel B-B_j\parallel<\epsilon_2[/mm]
>  
> => [mm]\parallel AB-A_j*B_j\parallel<\parallel A-A_j\parallel\parallel B-B_j\parallel<\epsilon[/mm]
>  
> wegen [mm]\parallel AB\parallel<\parallel A\parallel\parallel B\parallel[/mm]
>  
> Stimmt das so?

Nein. Ist denn [mm] AB-A_jB_j [/mm] = [mm] (A-A_j)(B-B_j) [/mm] ? Im allgemeinen nicht !


Der korrekte Beweis geht (fast) wörtlich , wie für Zahlenfolgen.

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenz Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Di 06.11.2012
Autor: kalifat

Stimmt, jetzt habe ich nur ein kleines Problem, was mache ich mit folgendem Ausdruck:

[mm] \parallel A_j B-AB\parallel. [/mm] Da kann ich doch B nicht ohne weiteres herausheben, da ich ja nicht weiß ob A und B kommutieren.
Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Di 06.11.2012
Autor: Helbig

Hallo Kalifat,

> Stimmt, jetzt habe ich nur ein kleines Problem, was mache
> ich mit folgendem Ausdruck:
>  
> [mm]\parallel A_j B-AB\parallel.[/mm] Da kann ich doch B nicht ohne
> weiteres herausheben, da ich ja nicht weiß ob A und B
> kommutieren.

Das brauchen die auch nicht zum Herausheben. Quadratische Matrizen bilden einen Ring, d. h. es gelten beide Distributivgesetze und eines begründet [mm] $A_j*B [/mm] - A*B =( [mm] A_j-A)*B\;.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang

Bezug
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