Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 So 31.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Die erste Aufgabe ist:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}
[/mm]
Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}*\bruch{n^n}{n!}| [/mm] = [mm] |(\bruch{n}{n+1})^n| \le \bruch{1}{2}=:\theta<1
[/mm]
also konvergiert diese Reihe absolut.
Stimmt die Abschätzung mit dem [mm] \le \bruch{1}{2}? [/mm] Ich habe versucht, es durch Induktion zu beweisen, hab das aber nicht ganz geschafft.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 So 31.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
So wie Thorsten es eben schon gesagt hat, klappt's natürlich wunderbar; du kannst es sogar direkt über [mm] $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\leq\frac{1}{2}$ [/mm] durch [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] nach oben abschätzen.
Eine andere Möglichkeit wäre das Wurzelkriterium. Demnach wäre zu zeigen, dass [mm] $\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ [/mm] ab einem bestimmten $n$ kleiner als eine Konstante kleiner $1$ bleibt. Du kannst dir nun folgendes merken, vielleicht hilft es dir das ein oder andere mal. Die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel besagt im ungewichteten Fall, dass für positive reelle Zahlen [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] immer [mm] $\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n}\leq\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ [/mm] gilt [Gleichheit für [mm] $a_1=a_2=...=a_n$]. [/mm] Das kann man bei dem Ausdruck [mm] $\sqrt[n]{n!}$ [/mm] wunderbar anwenden, denn [mm] $n!=1\cdot 2\cdots [/mm] n$, also, nach AM-GM: [mm] $\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{1\cdot 2\cdots n}\leq\frac{1+2+...+n}{n}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2}$. [/mm] D.h. also, dass stets [mm] $\sqrt[n]{n!}\leq\frac{n+1}{2}$ [/mm] gilt! Das solltest du dir merken! Wenn du es hier anwendest, erhältst du die Abschätzung [mm] $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\leq\frac{\frac{n+1}{2}}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$. [/mm] Für [mm] $n\geq [/mm] 2$ ist dies immer kleiner gleich [mm] $\frac{3}{4}$.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir damit ein wenig helfen und dir einen kleinen Trick nahelegen, der dir evt. nochmal nützlich sein wird.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 31.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Die zweite Aufgabe lautet:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^4}{3^n}
[/mm]
Ich hab' wieder das Quotientenkriterium genommen:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)^4}{3^{n+1}}*\bruch{3^n}{n^4}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n+1)^4}{3n^4}|
[/mm]
und jetzt? Weiter weiß ich leider nicht. Kann mir jemand sagen, wie ich da weitermachen muss? Oder muss ich ein anderes Konvergenzkriterium nehmen?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 31.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Es ist [mm] $\lvert\frac{(n+1)^4}{3n^4}\rvert [/mm] = [mm] \lvert\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^4\rvert$. [/mm] Den Term [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^4$ [/mm] durch $3$ nach oben abzuschätzen, wäre zu grob, du kannst aber eine beliebige Konstante aus $(e,3)$ wählen, um ihn nach oben abzuschätzen. Damit funktioniert das Quotientenkriterium dann einwandfrei.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Danke für die Antwort.
> Es ist [mm]\lvert\frac{(n+1)^4}{3n^4}\rvert = \lvert\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^4\rvert[/mm].
> Den Term [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^4[/mm] durch [mm]3[/mm] nach oben
> abzuschätzen, wäre zu grob, du kannst aber eine beliebige
> Konstante aus [mm](e,3)[/mm] wählen, um ihn nach oben abzuschätzen.
> Damit funktioniert das Quotientenkriterium dann
> einwandfrei.
Aber ich muss doch schon noch eine Konstante angeben, oder? Also ich habe jetzt mal etwas gerechnet, und für [mm] n\ge [/mm] 4 gilt: [mm] (1+\bruch{1}{n})^4\le [/mm] 2,45 und somit [mm] \lvert\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^4\rvert \le \bruch{2,45}{3}<1. [/mm] Wäre das dann so ok? Und kommt es oft vor, dass man so "komische" (also in diesem Fall ja quasi eine gerundete) Konstante hat oder findet man oft schöne Konstanten wie vielleicht [mm] \bruch{1}{2} [/mm] oder so?
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Du kannst auf eine Abschätzung auch verzichten, wenn du für Dein Quotient die Grenzwertbetrachtung machst (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium (Wikipedia) ...):
[mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{1}{3}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^4\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^4 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*1^4 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] \ =: \ q \ < \ 1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hier jetzt noch eine Aufgabe dazu:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}
[/mm]
Ich habe wieder das Quotientenkriterium genommen:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{n+5}{(n+1)^2-3(n+1)+1}\bruch{n^2-3n+1}{n+4}| [/mm] = ... = [mm] |\bruch{n^3+2n^2-14n+5}{n^3+3n^2-5n-4}|
[/mm]
Dies ist zwar [mm] \le [/mm] 1, da der Zähler kleiner ist als der Nenner, aber gibt es auch ein entsprechendes [mm] \theta? [/mm] Bei einem Beispiel zum Quotientenkriterium steht, dass der Grenzwert =1 ist und es deswegen kein [mm] \theta<1 [/mm] gibt - ist das immer so? Dann wäre hier das Quotientenkriterium gar nicht anwendbar, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Marcel |
Liebe Christiane!
> Hallo nochmal!
> Hier jetzt noch eine Aufgabe dazu:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
>
Es gilt für jedes $k [mm] \in \IN$, [/mm] $k [mm] \ge [/mm] 3$:
[mm]\summe_{n=0}^{k}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\frac{4}{1}+\frac{5}{-1}+\frac{6}{-1}+\summe_{n=3}^{k}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm].
Nun gilt:
[m]\summe_{n=3}^{k}\underbrace{\bruch{n+4}{n^2-3n+1}}_{\ge \; 0}\ge \summe_{n=3}^{k}\underbrace{\bruch{n}{n^2-2n+1}}_{\ge\;0}[/m]
[m]=\summe_{n=3}^{k}\bruch{n}{(n-1)^2}}
=\summe_{n=3}^{k}\bruch{(n-1)+1}{(n-1)^2}[/m]
[m]=\left[\summe_{n=3}^{k}\bruch{1}{n-1}\right]+\summe_{n=3}^{k}\bruch{1}{(n-1)^2}[/m]
[m]=\underbrace{\left[\summe_{n=2}^{k-1}\bruch{1}{n}\right]}_{\to \infty\;(k \to \infty)}+\underbrace{\summe_{n=2}^{k-1}\bruch{1}{n^2}}_{(konvergent\;gegen\;ein\;C>0\;bei\;k \to \infty)}\;\ge \underbrace{\summe_{n=2}^{k-1}\bruch{1}{n}}_{\to \infty\;(k \to \infty)}\stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow}\infty[/m]
Also folgt (o.B.d.A. $k [mm] \ge [/mm] 3$):
[mm]\summe_{n=0}^{k}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}=\frac{4}{1}+\frac{5}{-1}+\frac{6}{-1}+\summe_{n=3}^{k}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
[m]=-7+\summe_{n=3}^{k}\bruch{n+4}{n^2-3n+1} \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \infty[/m] und damit die Divergenz von [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Marcel!
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
> >
> > Ich habe wieder das Quotientenkriterium genommen:
> >
> > [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] =
> > [mm]|\bruch{n+5}{(n+1)^2-3(n+1)+1}\bruch{n^2-3n+1}{n+4}|[/mm] = ...
> > = [mm]|\bruch{n^3+2n^2-14n+5}{n^3+3n^2-5n-4}|[/mm]
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Dies ist zwar [mm]\le[/mm] 1, da der Zähler kleiner ist als der
> > Nenner,
>
> Du meinst den Betrag des Zähler und den Betrag des Nenners
> und das ist richtig für alle [mm]n[/mm] ab einem gewissen [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> genügend groß!
>
> > aber gibt es auch ein entsprechendes [mm]\theta?[/mm] Bei
> > einem Beispiel zum Quotientenkriterium steht, dass der
> > Grenzwert =1 ist und es deswegen kein [mm]\theta<1[/mm] gibt
>
>
>
> > - ist
> > das immer so?
>
> Präzisiere bitte die Frage. Aber wenn du das
> Quotientenkriterium mal mit [mm]\limsup[/mm] bzw. [mm]\liminf[/mm] formuliert
> sehen willst:
Bloß nicht mit [mm] \limsup! [/mm] Wenn ich das mal verstanden hatte, dann habe ich das längst wieder vergessen. Und allein diese Bezeichnung [mm] \limsup [/mm] erschreckt mich... 
Also, ich wollte wissen, wenn der Limes von dem Teil, den man beim Quotientenkriterium betrachtet (also dieses [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|), [/mm] =1 ist, ob es dann nie ein [mm] \theta [/mm] <1 geben kann, wie es beim Quotientekriterium gefordert ist und somit das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist. Nun klar gestellt?
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Marcel |
Liebe Christiane!
> > > - ist
> > > das immer so?
> >
> > Präzisiere bitte die Frage. Aber wenn du das
> > Quotientenkriterium mal mit [mm]\limsup[/mm] bzw. [mm]\liminf[/mm] formuliert
> > sehen willst:
> Bloß nicht mit [mm]\limsup![/mm] Wenn ich das mal verstanden hatte,
> dann habe ich das längst wieder vergessen. Und allein diese
> Bezeichnung [mm]\limsup[/mm] erschreckt mich...
Schau dir mal im Skript auf Seite 44 den Satz 5.20.1 an. In Worten ausgedrückt heißt das:
[mm] $\overline{a}$ [/mm] ist [mm] $\limsup$ [/mm] einer Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] genau dann, wenn folgende zwei Bedingungen gelten:
Für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es einen Index [mm] $N_{\varepsilon}$, [/mm] so dass ab diesem Index alle Folgeglieder unterhalb von [mm] $\overline{a}+\varepsilon$ [/mm] liegen und man findet unendlich viele Folgenglieder der Folge [mm] $(a_n)$, [/mm] die sich innerhalb des [mm] $\varepsilon$-Schlauches [/mm] um [mm] $\overline{a}$ [/mm] (was dann die Menge [mm] $\left\{x \in \IR:\;|x-\overline{a}|<\varepsilon\right\}$ [/mm] ist) befinden. Ich finde, diese Charakterisierung des [mm] $\limsup$ [/mm] ist sehr anschaulich, wenn man sie einmal verstanden hat!
> Also, ich wollte wissen, wenn der Limes von dem Teil, den
> man beim Quotientenkriterium betrachtet (also dieses
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|),[/mm] =1 ist, ob es dann nie ein [mm]\theta[/mm]
> <1 geben kann, wie es beim Quotientekriterium gefordert ist
> und somit das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist. Nun
> klar gestellt?
Ja, denn dann gilt ja [mm] "$\limsup=\liminf=\lim=1$" [/mm] und dann ist das Quotientenkriterium leider nicht anwendbar, oder besser gesagt:
Es ist keine Aussage mithilfe des Quotientenkriteriums möglich!
Oder, um den [mm] $\limsup$ [/mm] etc. zu vermeiden:
Wenn [mm] $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$, [/mm] dann existiert kein solches [mm] $\theta [/mm] < 1$ (aber auch keines $> 1$). Du kannst dich aber auch mal daran versuchen, diese Aussage zu beweisen, indem du annimmst:
[mm] $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ [/mm] und es gäbe ein solches [mm] $\theta [/mm] < 1$ und das zum Widerspruch führst. Das sollte dir eigentlich keine Probleme machen und ist sicherlich eine gute kleine Übung, wenn man sich mit Folgen beschäftigen will..
Viele Grüße,
Marcel
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]"){kind=small}
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